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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Israël}}
\rfoot{\small{septembre 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Israël\: septembre 1956}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires.

L'unité adoptée pour la mesure des abscisses et des ordonnées est égale à $2$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites qui représentent les variations des fonctions
\begin{center}$y = 2(x - 1)$ \qquad et \qquad  $y= -\dfrac12(x-1)$.\end{center}
\item Ces droites et la droite dont tous les points ont pour abscisse $(- 1)$ déterminent un triangle.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de ses sommets ?
		\item Quelle est la nature du triangle ?
		\item Calculer la longueur de chacun de ses côtés.
		\item Calculer son aire en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de rayons $R$ et $R'$ ($R > R'$), tangents extérieurement en T.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire une de leurs tangentes commune extérieures.

Soient A et B les points de contact, S le point d'intersection de la tangente commune et de la droite des centres.
\item Calculer en fonction de $R$ et $R'$ les rapports $\dfrac{\text{TO}}{\text{TO}'}$
et $\dfrac{\text{TO}}{\text{TO}'}$ et montrer que S et T divisent [OO$'$] dans
le même rapport.
\item Soient E et F les points où la droite des centres 
SA2 SE (OO$'$) recoupe les cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.

Montrer que $\dfrac{\overline{\text{SA}}^2}{\overline{\text{SB}}^2} = \dfrac{\text{SE}}{\text{SF}}$
 et calculer le rapport $\dfrac{\text{SE}}{\text{SF}}$ en fonction de $R$ et $R'$.
\item \emph{Application numérique} : $R = 5$~cm, $R' = 3$~cm. 

Calculer OS, O$'$S et AB.
\end{enumerate}
\end{document}