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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1979}
\rfoot{\small Istanbul}
\lfoot{\small juin 1979}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Istanbul juin 1979 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les applications $f$ et $g$, de $\R$  dans $\R$, définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f :&x &\mapsto&\left(x - \sqrt 3\right)\sqrt 3 + \left(x - \sqrt 3\right)^2,\\
g :&x &\mapsto&x^2 + 2x - \sqrt 3(x + 2).
\end{array}\]

Écrire chacun des réels $f(x)$ et $g(x)$ sous la forme d'un produit des deux facteurs dont l'un est $\left(x - \sqrt 3\right)$.
\item Les fonctions rationnelles $h$ et $l$, de $\R$  dans $\R$, sont données par
\[\begin{array}{l c l}
h(x) &=&\dfrac{f(x)}{g(x)}\\
l(x) &=&\dfrac{x}{x + 2}
\end{array}\]

Quel est l'ensemble $\mathcal{D}$ des nombres réels $x$ pour lesquels on peut écrire
\[h (x) = l(x) \:\:?\]

Calculer, s'ils existent, les réels $h\left(-\dfrac52\right)$ et $h(- 2)$.
\item Résoudre, dans $\R$, l'équation
\[|l(x)| = 1.\]

\item Dans un plan muni d'un repère \Oij,
tracer les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ admettant respectivement pour équation
\[\begin{array}{l c l}
y &=&x,\\
y &=&- x,\\
y &=&x + 2.
\end{array}\]

Tracer ces droites.

Retrouver graphiquement le résultat de la question \textbf{3.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé \Oij, placer les points A, M, N et P, définis par

\begin{center}$\vect{\text{OA}} =- 3\vect{\imath} - 4\vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OM}} = 3\vect{\imath} + 4\vect{\jmath},\qquad
\vect{\text{ON}} = 2\vect{\imath} + \vect{\jmath},\qquad \vect{\text{OP}} = \vect{\imath} - 2\vect{\jmath}$.\end{center}

et le point B, image de A par la symétrie de centre P. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que N est le milieu du bipoint (M, P). 
		\item Calculer les coordonnées de B. [On trouvera : (5~;~0).]
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle (B, N, P) est rectangle isocèle.
\item Placer le point C, symétrique de B par rapport à N et le point D, symétrique de C par rapport à M.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du quadruplet (C, M, B, P) ?
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, C, D, B) ?
	\end{enumerate}
\item L'unité étant le degré, on désigne par $\alpha$ l'écart angulaire de l'angle géométrique ~$\widehat{\text{BAC}}$.

Quels sont les nombres $\alpha$ et $\cos \alpha$ ?
\end{enumerate}
\end{document}