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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Istanbul}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Istanbul juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression
\[A = \dfrac{-4x^2 + 12x - 9}{ 4x^2 - 9}.\]
\item Effectuer 
\[B = (2x + 3) (5x - 2).\]

Calculer le produit $A^2 \times B$.
\item Calculer l'expression

\[y = \dfrac{66x - 34}{10x^2 + 11x - 6} - \dfrac{22x - 5}{4x^2 - 5}.\]

En déduire la valeur de $y$ :
	\begin{enumerate}
		\item pour $x = 7$ ;
		\item pour $x = - 15$.
	\end{enumerate}
L'expression $y$ est-elle définie pour toute valeur de $x$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Soient un axe fixe $x'\text{O}x$ et, sur cet axe, les points B et C tels que $\overline{\text{OB}} = - \overline{\text{OC}} = + 2$ (l'unité est le cm).

Un point A est variable. dans l'un des demi-plans limités par $x'\text{O}x$.

(Le candidat est invité à expliquer d'une façon précise et concise les constructions effectuées à l'aide de la règle et du compas.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le lieu $(L)$ du point A pour que l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ reste égal à $30\degres$ ?

Construire ce lieu.

Construire le triangle ABC dans le cas où $\widehat{\text{ACB}} = 30\degres$.

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$.
\item Quand A décrit le lieu $(L)$ :
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ du triangle ABC passe par un point fixe K.
		\item Sachant(à ne pas démontrer) que, si M est le point de rencontre de (BC) et de (AK), on a toujours
\[\dfrac{\text{MB}}{\text{MC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}.\]
étudier la variation du rapport $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$.

Construire A$'$ tel que $\dfrac{\text{A}'\text{B}}{\text{A}'\text{C}} = \dfrac32$.
\item Quel est le lieu du point A tel que $\widehat{\text{BAC}} = 30\degres$ et
\[\dfrac{\text{AC}}{\sqrt 3} < \text{AB} < \text{AC}\sqrt 3.\]
	\end{enumerate}
\item Dans les conditions du 3. :
	\begin{enumerate}
		\item lieu du pied B$'$ de la hauteur issue de B dans le triangle ABC ;
		\item construire le point A tel que $\dfrac{\text{AH}}{\text{HO}} = k$ (H étant le pied de la perpendiculaire menée de A à $x'\text{O}x$ et $k$ un rapport arithmétique donné).
		
Discuter.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}