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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Istanbul}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1959~\decofourright\\[7pt]
Istanbul}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les deux expressions suivantes
\[y_1 = \dfrac{1}{3 - \dfrac{3x}{x - \dfrac13}}, \qquad y_2 = \dfrac{x^2 - \dfrac19}{x + \dfrac13}.\]

\item Trouver les coordonnées du point d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ représentant respectivement les variations des fonctions $y_1$ et $y_2$.

Montrer que ces deux droites sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
\item On considère une droite variable $\Delta$ dont l'équation est $y = mx$ ($m$ est un paramètre).
	\begin{enumerate}
		\item Par quel point fixe passe cette droite quand on donne à $m$ différentes valeurs ?
		\item Quelles sont, en fonction de $m$, les coordonnées des points d'intersection de 
		$\Delta$ avec $D_1$ d'une part, avec $D_2$ d'autre part.
		\item Calculer $x$ quand $\Delta$ est parallèle à $D_1$ puis quand $\Delta$ est parallèle à $D_2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Un cercle $(\mathcal{C})$, de centre O, et un cercle $(\mathcal{C}')$, de centre O$'$, sont tangents extérieurement en un point A.

Une tangente commune extérieure, tangente à $(\mathcal{C})$ en un point T et tangente à $(\mathcal{C}')$ en un point T$'$, coupe la droite des centres (OO$'$) en un point B.

La tangente commune intérieure en A à $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$coupe la droite $(TT')$ en un point M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que TT$' = 2$ MA.

Nature du quadrilatère TT$'$O$'$O.
\item Montrer que le triangle OMO$'$ est rectangle en M et que la droite $(TT')$ est tangente en M au cercle de diamètre [OO$'$].
\item Comparer les triangles BMO$'$ et BOM.

En déduire que 
\begin{center}BM$^2 =$ BO $\cdot $ BO$'$.\end{center}
\item Par le point fixe B on mène une demi-droite variable qui coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en deux points, E el F, et le cercle $(\mathcal{C}')$ en deux points, E$'$ et F$'$.

Quels sont les lieux géométriques du milieu D de [EF] et du milieu D$'$ de [E$'$F$'$] ?
\end{enumerate}
\end{document}