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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Istanbul juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polynômes
\begin{center}$16x^2 + 24x + 9$ et $16x^2 - 24x + 9$.\end{center}

Montrer que chacun d'eux est le carré d'un binôme du premier degré en $x$.
\item Simplifier les expressions

\begin{center}$A(x) = \dfrac{16x^2 - 24x + 9}{16x^2 - 9}$\qquad  et\qquad $B(x) = \dfrac{16x^2 + 24x + 9}{12x + 9}$\end{center}

\item On considère l'expression $y = A(x) \times B(x)$ ($x$ étant la variable).

Représentation graphique.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $y =  5$ ; on obtient ainsi les coordonnées d'un point M ; calculer OM$^2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC, rectangle en A, dont les côtés de l'angle droit sont tels que 

AB $= 3a$ et AC $= 2a$.

On place sur l'hypoténuse [BC] le point D, tel que $\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}= \dfrac 35$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le rapport $\dfrac{\text{DC}}{\text{DB}}$ et construire le point E divisant le segment [CB] dans le même rapport.
\item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à B.

Le prolongement de [AC] coupe (A$'$E) en F{}.

Montrer que F est le milieu de [A$'$E] et calculer CF en fonction de $a$.
\item Calculer l'aire du quadrilatère A$'$BCF en fonction de $a$.

Donner une construction simple du carré équivalent.
\item Soit I, le point de (AE) tel que $\dfrac{\text{AI}}{\text{AE}}= \dfrac14$.

Démontrer que (IF) est perpendiculaire à (AE).
\end{enumerate}
\end{document}