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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rfoot{\small{juin 1972}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Istanbul juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré les expressions algébriques suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=& (7 - 2x)(x + 5) - (21 - 6x)(2x - 1)\:\: \text{ et}\\
B(x) &=& 4x^2 - 49.
\end{array}\]

\item La fraction $F(x)$  peut être écrite sous une forme simplifiée, $F'(x)$.

	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression de $F'(x)$.
		\item Les fractions $F(x)$ et $F'(x)$ sont-elles équivalentes pour toutes les valeurs de $x$ ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ est-elle nulle ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F(x)$ n'est-elle pas définie ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ la fraction $F'(x)$ est-elle égale à $1$ ?
\item Calculer $F'(x)$ pour $x  = \sqrt 7$.

On donnera
		\begin{enumerate}
			\item la valeur exacte de $F'(x)$ avec un dénominateur rationnel,
			\item sa valeur approchée à un centième près.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

On donne, sur une droite, les points P{}, A et B dans cet ordre, tels que PA = AB $= 2R$, et l'on trace l'un des demi-cercles de diamètre [AB] (soit O son centre) et la tangente (PC) à ce demi-cercle, issue de P et touchant le demi-cercle en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de [PC], en fonction de $R$.
\item En A et en B on mène les demi-droites A$x$ et B$y$ perpendiculaires à (AB) et situées du même côté de (AB) que le demi-cercle. La droite (PC) coupe A$x$,  en D et B$y$ en E.

Démontrer que le quadrilatère (OCEB) est inscriptible.

En déduire que l'on a 
\[\text{PC} \cdot \text{PE} = 12 R^2,\]
 puis calculer la longueur de [PE] en fonction de $R$.
\item Prouver que le triangle (DOE) est rectangle.

En déduire que l'on a
\[\text{AD} \cdot \text{BE} = R^2.\]
\item Démontrer que les triangles (PDO) et (POE) sont semblables.

En déduire la relation,
\[\text{PO}^2 = \text{PD}  \cdot \text{PE}.\]

Montrer alors que (PO) est tangente au cercle circonscrit au triangle (DOE).
\end{enumerate}
\end{document}