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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small juin 1997}
\lfoot{\small Koweit--Turquie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{ \decofourleft~Brevet Koweit--Turquie juin 1997 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE NUMÉRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer et donner le résultat sous la forme la plus
simple possible :

\[\begin{array}{l l}
A =\dfrac74 - \dfrac{5}{12}&B = \left(- \dfrac52 \right)^2 - \dfrac15\\
C = - \dfrac{35}{2} \times \dfrac47 + \dfrac23&D = \left(3 - \sqrt 5\right)\left(3 + \sqrt 5\right).\end{array}\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Dans cet exercice, vous devrez indiquer parmi les quatre réponses proposées celle qui est la bonne (il n'y en a qu'une !). On ne demande pas de justification.

\medskip

\textbf{Question 1}  $(2xy)^5$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A : \,$32x^5y^5$& B :\, $32xy$&C :\, $32x^2y^3$&D :\, $10xy$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 2} $\dfrac12(abc)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A : $0,2abc$&B : $\left(\dfrac a2 \right)\left(\dfrac b2\right)\left(\dfrac c2\right)$&C : $a\left(\dfrac b2\right)c$&D : $- 2abc$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

On donne l'expression $F = (2x - 5)^2 - 16$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $F$.
\item Calculer $F$ pour $x = 0,5$.
\item Factoriser $F$.
\item Résoudre l'équation: $(2x - 1)(2x - 9) = 0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Résoudre l'inéquation 

\[x + 6 \leqslant 4(x + 2) + 8.\]

 Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de cette inéquation.

\bigskip

\textbf{PARTIE GÉOMÉTRIQUE}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on prendra $3,14$ comme valeur approchée du nombre $\pi$}.

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
Le cône de révolution ci-contre a pour hauteur 
SO = 12 cm; le disque de base a pour rayon 4 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du disque de base 
		
(Rappel :  aire du disque $B = \pi R^2$. 
		\item Calculer le volume du cône.
		
(Rappel :  volume du cône , $V = \dfrac13 B h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du cône).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(1.5,2.8)
%\psgrid
\psellipticarc(0,0)(1.1,0.5){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,0)(1.1,0.5){0}{180}
\psellipticarc(0,2.2)(0.26,0.15){180}{360}
\psellipticarc[linestyle=dashed](0,2.2)(0.26,0.15){0}{180}
\psline(-1.1,0)(0,2.9)(1.1,0)
\psline(-0.6,-0.4)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.4)(0,0)(0,2.9)
\psline[linestyle=dashed](-0.17,2.08)(0,2.2)
\uput[r](0,0){\small O}\uput[r](-0.1,2.2){\footnotesize O$'$}
\uput[dl](-0.6,-0.4){\footnotesize A}\uput[dl](-0.13,2.1){\footnotesize A$'$}
\psline(0,0.18)(-0.15,0.05)(-0.15,-0.1)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\hspace{0.6cm}\textbf{2.}  Un plan parallèle à la base du cône coupe [SO] en O$'$ et la génératrice  [SA] en A$'$ tel que $\dfrac{\text{SO}'}{\text{SO}}  = \dfrac13$.

On désigne par $V'$ le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre O$'$ et de rayon O$'$A$'$. 

Quelle est la valeur du quotient $\dfrac{V'}{V}$ ?

En déduire $V'$.
%\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On se place dans un repère orthonormal (unité : 1 cm). On utilisera une feuille de papier millimétré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la droite (D) d'équation $y = 2x - 3$ et justifier votre représentation.
\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$ passant par A$\left(0~;~\dfrac92\right)$ perpendiculaire à $(D)$.
\item Calculer les coordonnées du point K, point d'intersection des droites d'équation 

$y = 2x - 3$ et $y = - \dfrac12x + \dfrac92$.
\item Soit B(2~;~5). Déterminer une équation de la droite $(d)$ parallèle à (D)
et passant par B. 

La construction de la droite $(d)$ n'est pas demandée.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AB}}$.
		\item Construire en couleur sur la figure le vecteur $\vect{\text{BE}}$, tel que 
$\vect{\text{BE}} = \vect{\text{BA}} + \vect{\text{BK}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

ABCD est un quadrilatère. On connaît les longueurs de ses quatre côtés :

\begin{center}AB $= 6,5$ cm;\quad BC $= 6$ cm ;\quad CD $= 2,5$ cm ;\quad DA $= 7,8$ cm.\end{center}

On connaît aussi la longueur d'une diagonale: BD $= 6,5$ cm.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(4.5,2.4)
\pspolygon(0.2,0.2)(3.2,0.2)(1.7,2.1)%ADB
\psline(1.7,2.1)(3.7,1)(3.2,0.2)%BCD
\uput[l](0.2,0.2){A} \uput[u](1.7,2.1){B} \uput[r](3.7,1){C} \uput[dr](3.2,0.2){D}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le quadrilatère ABCD en vraie grandeur. 

\emph{La figure sera complétée à chaque question.}
\item M est le milieu du côté [AB] et P est le milieu du côté [AD]. 

E est le point du côté [BC] situé à 2 cm de C.

La parallèle à (MP)qui passe par E coupe [CD] en F.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que (MP) est parallèle à (BD) ; en déduire que (EF) est parallèle à (BD).
		\item Calculer les longueurs exactes de [CF] et de [EF].
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle BCD est-il rectangle ? Justifier la réponse.
		\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBD}}$ arrondie au degré.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature du triangle ABD ?
		\item Calculer la longueur de [BP].
		\item Calculer l'aire du triangle ABD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}