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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
La Réunion juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle rectangle ABC ; A est le sommet de l'angle droit et les deux côtés de l'angle droit ont pour longueur AB $= 8$, AC $= 6$.

L'unité de longueur est le centimètre.

Soit H le pied de la hauteur issue de A.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des segments [BC], [BH] et [AH].
\item On prend sur le segment AB un point P et l'on pose BP $= x$.

La perpendiculaire à l'hypoténuse [BC], menée par P{}, coupe [BC] au point M.

La parallèle à (BC) menée par P coupe le côté [AC] au point Q.

Démontrer que les triangles M et APQ sont semblables au triangle ABC.

Calculer, en fonction de $x$, la longueur des segments [BM] et [PQ].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne le trapèze isocèle ABCD tel que 
\begin{center}AB $= 8$~cm,\quad  BC = CD = DA $= 4$~cm.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit O le milieu de [AB].

Montrer que les triangles AOD, DOC, COB sont équilatéraux.

En déduire une construction simple du trapèze ABCD.
\item Calculer l'aire  du trapèze à 1 mm$^2$ près.
\item Calculer la longueur  AC à 1 mm près.
\item I étant le point de concours des diagonales, 
évaluer le rapport $\dfrac{\text{IC}}{\text{IA}}$ ; calculer la longueur des segments [IA] et [IC].
\end{enumerate}
\end{document}