\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {La Réunion septembre 1954},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
La Réunion\:septembre 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Construire les lignes représentatives de chacune des fonctions suivantes:

\[y_1 = x + 4\quad ;\quad y_2 = - \dfrac23 x - 1\quad ;\quad y_3 = - 4x +9.\]

\item  Ces trois droites forment un triangle ABC. Calculer les coordonnées des trois sommets.
\item  Trouver l'équation de la médiane issue de A, de la hauteur issue de A, de la parallèle à (BC) passant par A.

(A est le point d'intersection des droites $y_1$ et $y_2$, B celui des droites $y_1$ et $y_3$, C celui des droites $y_2$ et $y_3$.)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AD] tel que AD $= 2R$.

La perpendiculaire à (AD) en son milieu O et la perpendiculaire à (AO) en son milieu M coupent respectivement le demi-cercle en C et en B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB, AC, BD en fonction de $R$.

Exprimer en degrés les quatre angles du quadrilatère ABCD et trouver en fonction de $R$ l'aire  du même quadrilatère.
\item Soit E le point d'intersection de (AC) et de
(BD) et soit F la projection de E sur (AD).

Montrer que (AB), (DC) et (EF) concourent en un même point  H.

Exprimer AF et FD en fonction de HF $= x$ et calculer $x$ en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}