\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {La Réunion juin 1955},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 1955}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges La Réunion juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les trois fractions
\[A = \dfrac{5x}{x + 5x^2}\:; \qquad  - B = \dfrac{3 - 15x}{(1 - 5x)^2}\:;\qquad - C =  \dfrac{6x}{x - 25x^2}.\]

\item Calculer $A - B + C$ et donner le résultat sous forme de fraction rationnelle, que l'on simplifiera.
\item Calculer la valeur numérique du résultat pour $x = \sqrt 2$, puis pour $x = -\dfrac15$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Dans un cercle $\mathcal{C}$ de centre O, de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment de droite [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.

En conclure que le quadrilatère OBMP est inscriptible.

Préciser la position du centre I du cercle circonscrit à ce quadrilatère.
\item Démontrer que les triangles AOP et AMB sont semblables.

En déduire la valeur du produit AP $\times$ AM en fonction de $R$.

\emph{Application} : Calculer les longueurs des côtés des deux triangles précédents lorsque $R = 4$~cm et OP $= 3$~cm.
\item Le rayon $R$ restant égal à $4$ cm, on suppose que le point P décrit le segment [CD] et l'on demande de déterminer la plus grande valeur que peut prendre le segment [AP].
\end{enumerate}
\end{document}