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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small La Réunion}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small }
\lfoot{\small juin 1957}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet La Réunion juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Deux amis habitent deux localités A et B distantes de $120$~km.

Ils se donnent rendez-vous à un point M de la route AB (supposée en ligne droite) situé entre A et B et tel que AM $= x$ (en km).

Ils s'y rendent en automobile. La voiture du premier (A) consomme 5 litres d'essence aux 100~km ; celle du deuxième (B) consomme 10 litres d'essence aux 100~km.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les quantités d'essence nécessaires à chacun des deux amis pour se rendre au point M.
\item Comment doit être choisi le point M pour que les quantités d'essence nécessaire à chacun d'eux soient égales ?
\item Déterminer $x$ pour que la consommation totale d'essence faite par les deux amis soit égale à $7,5$~litres.
\item Représenter sur un même graphique les quantités $y$ et $y'$ d'essence calculées dans la question 1.

Déterminer alors graphiquement le résultat de la question 2.

Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.

Pour la représentation graphique, prendre 1~cm = 20~km sur l'axe des abscisses et 

1~cm = 2~litres d'essence sur l'axe des ordonnées.

L'origine des distances est la localité A.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

Dans un cercle de centre O et de rayon $R$, on mène deux diamètres perpendiculaires, [AB] et [CD].

Une corde issue de A coupe le segment [CD] en P et le cercle en M.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en degrés la valeur de l'angle $\widehat{\text{AMB}}$.

En conclure que le quadrilatère OPMB est inscriptible dans un cercle, dont on précisera la position du centre I.
\item Comment varie le point I lorsque le point P décrit le diamètre [CD] ?
\item Démontrer qua les triangles ABM et AOP sont semblables.

Établir leur rapport de similitude et en déduire la valeur du produit AP $\cdot $AM en fonction de $R$.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{BAM}} = 30\degres$.

Calculer la longueurs des segments [BM], [AM], [OP] et [AP] en fonction de $R$.
\end{enumerate}
\end{document}