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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rfoot{\small{juin 1968}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges La Réunion juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\medskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit deux axes de coordonnées rectangulaires, $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$, sur lesquels l'unité de longueur choisie est le centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ d'équations 
\begin{center}$y = x - 3$\qquad et \qquad $y = - x + 3$ \end{center}
respectivement.
\item Ces deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ sont sécantes au point A et coupent l'axe des ordonnées en B et C respectivement ; calculer les coordonnées des point A, B et C.
\item Montrer que les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_1\right)$ sont perpendiculaires.
\item Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y = 3x + 1$ ; construire cette droite.

La droite $(\Delta)$ coupe les droites $\left(D_1\right)$,  $\left(D_1\right)$ et O$y$ en D, E et H respectivement ; calculer les coordonnées des points D, E et H.

Montrer que [AH] est la hauteur issue de A du triangle ADE (on déterminera l'équation de la droite (AH)),
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un segment [AB] tel que AB $= 10$~cm et le point C du segment [AB] tel que $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = \dfrac14$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire géométriquement le point C et calculer CA et CB.
\item La perpendiculaire élevée en C à (AB) coupe le demi-cercle de diamètre [AB] en M.

Calculer MC, MA et MB.
\item Montrer que (OP) est perpendiculaire à (MB) ; en déduire que le quadrilatère MPOC est inscriptible dans un cercle, dont on déterminera le centre, I, et le rayon.

Montrer que ce cercle est tangent intérieurement en M au cercle de diamètre [AB].
\item La tangente commune en M à ces deux cercles coupe le prolongement de [AB] en Q ; montrer que


Soit O le milieu de [AB] et P le milieu de [MB].

\[\overline{\text{QA}} \times \overline{\text{QB}} = \overline{\text{QC}} \times \overline{\text{QO}} = \overline{\text{QM}}^2.\]
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N. B. -} Pour la construction du point C, on fera une figure séparée.}
\end{document}