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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{juin 2001}}
\rfoot{\small{La Réunion}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet - La Réunion
  juin 2001 \decofourright}}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On a effectué une enquête dans un groupe de 760 élèves :
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant en justifiant par un
  calcul chaque résultat.
\[\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
{\bf Age}&{\bf Nombre d'élèves}&{\bf Pourcentage}\\
\hline
14 ans&95&\\
\hline
15 ans&&25\%\\
\hline
16 ans&475&\\
\hline
Totaux&760&\\
\hline
\end{tabular}
\]
\item Calculer la moyenne d'âge pour ce groupe de 760 élèves.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On considère $\text{A} =\dfrac{9}{5} - \dfrac{7}{5}\times\dfrac{2}{11}$ et
$\text{B} = 7\sqrt{12}+\sqrt3+15\sqrt{27}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction
irréductible.
\item Ecrire B sous la forme $a\sqrt3$, où $a$ est un nombre entier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit $C = (2x - 3)^2 + (x + 5)(2x - 3)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Calculer $C$ pour $x = -\dfrac{2}{3}$.
\item Résoudre l'équation $(3x + 2)(2x - 3) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES \hfill}

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.3,3.6)
\pspolygon(0.3,0.3)(4.1,0.3)(3.1,3.3)%EST
\psline(3.1,0.3)(3.1,3.3)
\psframe(3.1,0.3)(3.3,0.5)
\uput[dl](0.3,0.3){E} \uput[dr](4.1,0.3){S}
 \uput[u](3.1,3.3){T} \uput[d](3.1,0.3){H}  
\end{pspicture}}
\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{Le triangle ci-contre représente un
triangle EST, isocèle en E.

[TH] est la hauteur issue de T.

\emph{Il n'est pas demandé de reproduire la figure.}

On sait que :

\begin{itemize}
\item ES = ET = 12\,cm (les dimensions ne sont pas respectées sur la
figure) ;
\item l'aire du triangle EST est de 42\,cm$^2$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que TH = 7\,cm.
\item Calcule l'angle $\widehat{\text{TES}}$ (on donnera sa valeur arrondie au degré près).
\item En déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{\text{EST}}$.
\end{enumerate}}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,6.9)
\psline(0.3,0.3)(2.8,0.3)(3.7,1)(1.9,6.5)(2.8,0.3)(0.3,0.3)(1.9,6.5)%ABCSBAS
\psline(0.9,2.8)(2.4,2.8)(3,3.2)%RVT
\psline[linestyle=dashed](0.9,2.8)(1.5,3.2)(3,3.2)%RUT
\psline[linestyle=dashed](1.9,6.5)(1.9,0.6)%hauteurS...
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.2,1)(3.7,1)(0.3,0.3)(1.2,1)(2.8,0.3)%ADCADB
\psline[linestyle=dashed](1.9,6.5)(1.2,1)%SD
\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](2.8,0.3){B} \uput[r](3.7,1){C} 
\uput[l](1.2,1){D} \uput[l](0.9,2.8){R} \uput[u](1.9,6.5){S} 
\uput[r](3,3.2){T} \uput[l](1.5,3.2){U} \uput[dr](2.4,2.8){V} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.6\linewidth}{SABCD est une pyramide régulière à
base carrée telle que AB=4,5\,cm et de hauteur SH = 4,8\,cm.

(Les dimensions ne sont pas respectées sur la figure.)
{\em On rappelle que le volume d'une pyramide est donnée par la formule: $${\cal
V}=\frac{\mbox{aire de la base}\times\mbox{hauteur}}{3}$$ }}
\par

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'aire du carré ABCD.
		\item Prouver que le volume de la pyramide SABCD est de
32,4\,cm$^3$.
	\end{enumerate}
\item Le quadrilatère RVTU est la section de cette pyramide par un
plan parallèle à la base.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de cette section ? Justifier la réponse.
		\item On rappelle que la pyramide SRVTU est une réduction de la
pyramide SABCD ; on sait, de plus, que SV $=\dfrac{2}{3}$SB.

Calculer le volume de SRVTU.
		\item Représenter la section RVTU en vraie grandeur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{PROBLÈME \hfill}

\bigskip

{\em Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$. L'unité
choisie est le centimètre. Faire une figure et la compléter au fur et
à mesure.}
\par
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(4~;~5)$, $B(0~;~-3)$ et $C(-6~;~0)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $AB = \sqrt{80}$\,cm, $AC = \sqrt{125}$\,cm et
$BC = \sqrt{45}$\,cm.
		\item En déduire que $ABC$ est un triangle rectangle. Préciser l'angle
droit.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construis le point $D$ tel que $\vect{AB}=\vect{DC}$.
		\item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.
		\item Calculer les coordonnées de $\vect{AB}$.
		\item Vérifier à l'aide d'un calcul que les coordonnes du point $D$
sont $(-2~;~8)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[AC]$.
		\item Que représente le point $K$ pour le quadrilatère $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quels sont le centre et le rayon du cercle $({\mathcal C})$
circonscrit au triangle $ABC$ ? Justifier.
		\item Montrer que le point $D$ est sur le cercle $({\mathcal C})$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ l'image du point $A$ dans la translation de vecteur
$\vect{CB}$.

Montrer que la droite $(CF)$ coupe le segment $[AB]$
en son milieu.
\end{enumerate}
\end{document}