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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
La Réunion octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item De la proportion $\dfrac ab = \dfrac cd$ déduire
\[\dfrac ac = \dfrac bd = \dfrac{3a - 2b}{3c - 2d}.\]

\item Appliquer ces résultats à la résolution des équations à deux inconnues:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac xy&=&\dfrac 57,\\
3x-2y &=& 3.
\end{array}\right.\]

\item En utilisant les résultats de la précédente question, résoudre le système suivant:
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\dfrac{y+2}{2x - 3}&=&\dfrac 57,\\
\dfrac{3}{2x - 3} - \dfrac{2}{y + 2}&=&3\\
\end{array}\right.\]

\item Représenter graphiquement les fonctions
\begin{center}$y= \dfrac75 x$\qquad et \qquad $y = \dfrac32 x - \dfrac32$\end{center}

Coordonnées du point d'intersection ?

Comparer les résultats avec ceux de la question 2. et indiquer le lien entre ces deux groupes de résultats.
\end{enumerate}

\smallskip

{\footnotesize \textbf{N.B. -} Dans cette dernière question, il est conseillé de prendre 1 cm pour unité sur le graphique.}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle ABC et son cercle circonscrit, de centre O.

La bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ coupe (BC) en E et le cercle circonscrit en F{}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABF et AEC.

En déduire AB $\cdot$ AC = AE $\cdot$ AF.
\item Indiquer pourquoi $\overline{\text{EB}} \cdot \overline{\text{EC}} = \overline{\text{EA}} \cdot \overline{\text{EF}}$ (en énonçant seulement le théorème utilisé).
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et $\dfrac{\text{EB}}{\text{EC}}$ (énoncer
seulement le théorème utilisé).  EC
\item Si AB $= 4$~cm,\: AC $= 3$~cm, \:BC $= 5$~cm, que peut-on dire du triangle ABC  ?

Quel est alors le rayon de son cercle circonscrit ?

Calculer la longueur de la bissectrice [AE], en utilisant les relations trouvées ci-dessus.

On pourra poser

\begin{center}AE $= x$,\quad  AF $= y$,\quad  EB $= m$,\quad  EC $= n$\end{center}

et calculer d'abord $m$ et $n$.
\end{enumerate}
\end{document}