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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1987}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Antilles--Guyane septembre 1987 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

On sait que: $x = \dfrac12, \qquad y = - \dfrac34, \qquad z = \sqrt 5$.

Calculer $x +y \:;\quad x^2 - y \:; \quad \dfrac1x + \dfrac1y \:;\quad \left(x - \dfrac z2\right)\left(x + \dfrac z2\right)$.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

$a$ désignant un réel, écrire plus simplement : 

\[F = a^2- (a - 1)^2.\]

En déduire la valeur $\np{263728}^2 - \np{263727}^2$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

La lettre $x$ désigne un nombre réel à trouver.

Pierre soustrait 8 à $x$ puis multiplie la différence obtenue par 8.

Jacques ajoute 142 à $x$ puis divise le résultat obtenu par 2. Pierre et Jacques obtiennent le même résultat.

Écrire une égalité contenant $x$ et traduisant cette situation ; en déduire la valeur du nombre $x$ cherché.

\bigskip

\textbf{Travaux géométriques}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

1. Sur cette figure, les droites (AT), (BF) et (CK) sont parallèles.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,4.4)
%\psgrid
\psline(0,1.3)(6.2,1.3)
\psline(0.5,2.2)(5.3,2.2)
\psline(0.7,3.4)(4.5,3.4)
\psline(0.8,0)(1.7,4.3)
\psline(2.5,4.1)(6.8,0)
\uput[ul](1.5,3.4){A} \uput[ul](1.25,2.2){B} \uput[ul](1.1,1.3){C}
\uput[ur](3.24,3.4){T} \uput[ur](4.5,2.2){F} \uput[ur](5.43,1.3){K}
\end{pspicture}
\end{center}

Une unité de longueur étant choisie, on donne: AB $= 3$, BC $= 2$, TF $= 4,5$.

Calculer TK.

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Construire un losange dont les diagonales [MP] et [NQ] ont pour longueurs respectives $8$~cm et $5$~cm.

Calculer l'aire de ce losange. Calculer la longueur d'un côté.

\bigskip

\textbf{Problème}

\medskip

Le salaire mensuel $y$ d'un démarcheur dépend du montant $x$ des ventes qu'il réalise chaque mois.

Sur le graphique ci-dessous, les demi-droites (A), (B) et (C) représentent les salaires respectifs d'Albert, Bernard et Christian en fonction des ventes qu'ils réalisent.

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-1)(120,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=20,xsubticks=10]{->}(0,0)(0,0)(120,10)
\uput[d](50,0){\footnotesize \np{50000}}\uput[d](100,0){\footnotesize \np{100000}}
\uput[l](0,1){\footnotesize \np{1000}}\uput[l](0,5){\footnotesize \np{5000}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{110}{0.05 x mul 2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{110}{x 0.1 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{110}{150 x mul 3000 sub}
\psline[linestyle=dashed](40,0)(40,4)(0,4)
\psline[linestyle=dashed](60,0)(60,6)(0,6)
\psline[linestyle=dashed](60,5)(0,5)
\end{pspicture}
\end{center}

Le montant des ventes en francs est porté en abscisse, le salaire en francs est porté en ordonnée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Indiquer le salaire de chacun des démarcheurs pour des ventes s'élevant à \np{60000}~F. 

Si les ventes dépassent \np{60000}~F, quel est celui qui gagnera le plus ? le moins ?
\item Quel est celui qui aura le moins de ventes à effectuer pour s'assurer un salaire de \np{5000}~F?
\item Vérifier que :
\og  $y = 0, 15x - \np{3000}$ \fg{} est une équation de la droite support de (C).

\og $y = 0,05x + 2000$ \fg{} est une équation de la droite support de (A).

En déduire le montant $x$ de ventes (commun aux deux démarcheurs) pour lequel le salaire de Christian serait le double de celui d'Albert.
\item Déterminer une équation de la droite support de (B).

Calculer le salaire de Bernard s'il réussit à vendre pour \np{76590}~F de marchandises.
\end{enumerate}
\end{document}