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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Laos}
\lfoot{\small juin 1967}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Laos juin 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions
\[\begin{array}{l c l}
y_1 &=& \dfrac{ (13 - x)\left(x^2 - 4\right)}{(x- 2)(x + 3) - 2(x - 2)(x - 5)}\:\text{et}\\
y_2&=& \dfrac{(2x - 3)(x - 1) + (5 - 2x)(2x - 3)}{4 - x}.
\end{array}\]

\item Construire les droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ ayant respectivement pour équation les expressions simplifiées de $y_1$ et $y_2$. 

Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection, I, de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.

Vérifier par le calcul.
\item Tracer la droite (OI).

Quelle est l'équation de cette droite OI ?
\item De O on trace la droite $\left(D_3\right)$ perpendiculaire à (OI).

Quelle est l'équation de $\left(D_3\right)$ ?

Déterminer, graphiquement et par le calcul, les coordonnées des points d'intersection de $\left(D_3\right)$ avec $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment [AB] tel que AB $= 4$~cm. On place sur la droite (AB), à l'extérieur du segment [AB], un point H tel que $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}} = 1,8$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur des segments [HA] et [HB].
\item On trace le cercle de diamètre [AB] et l'on mène par H la perpendiculaire à (AB).

Soit M le point de cette perpendiculaire tel que $\widehat{\text{MAH}} = 30\degres$.

(AM) coupe le cercle de diamètre [AB] en C.

Montrer que les quatre points C, B, H et M sont sur un même cercle, dont on précisera la position du centre.
\item Calculer MH, AM et le rayon, $R$, du cercle circonscrit au quadrilatère BCMH.
\item (CB) coupe la droite (MH) en T et (AT) coupe le cercle de diamètre [AB] en N.

Montrer que les points N, B et M sont alignés et démontrer la relation 
\begin{center}AC $\cdot $ AM = AN  $\cdot $ AT.\end{center}

\end{enumerate}
\end{document}