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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Laos juin 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

Soit un système d'axes orthonormé $x'x, y'y$ (vecteur unitaire : le centimètre).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $\left(D_1\right)$ d'équation $x = - 10$ puis 
 la droite $\left(D_2\right)$ d'équation $y = 5$.

Ces droites se coupent en A.
\item Une droite $\left(D_3\right)$ coupe $\left(D_2\right)$ en B, d'abscisse 2 et $\left(D_1\right)$ en C d'ordonnée $- 1$.

Trouver l'équation de (BC).
\item Soit [AH] la hauteur du triangle rectangle ABC.

Trouver l'équation de (AH).
\item Soit [AM] la médiane du triangle rectangle ABC.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les coordonnées de M ?
		\item Quelle est l'équation de (AM) ?
		\item Quelle particularité cette droite présente-t-elle ?
	\end{enumerate}
\item Calculer MB, OM et OB.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un triangle ABC rectangle isocèle, d'hypoténuse [BC] tel que BC $= 2R$.

Soit O le milieu de [BC] et I le centre du cercle inscrit de rayon $r$.

On mène les perpendiculaires (IM) et (IN) à (AB) et (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que IM = IN $= 10$.

Nature du quadrilatère AMIN.

Calculer $r$ en fonction de $R$.
\item (BI) et (CI) recoupent le cercle circonscrit en Q et P.

Montrer que (PQ) est parallèle à (BC).

Indiquer la nature du quadrilatère BOQM.

En déduire que les points M, N, P et Q sont alignés,
\item Montrer que PM = NQ.

Calculer la longueur de ces deux segments en fonction de $R$.

Calculer BI et PI.
\end{enumerate}
\end{document}