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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Laos juin 1973~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions polynômes, $f$ et $g$, de $\R$ dans $\R$, définies par
et
\[\begin{array}{l c l}
f(x) &=& (x + 1) (2x - 3) + \left(x^2 - 1\right)\:\text{et}\\
g(x) &=&9x^2 - 24x + 16.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(- 1),\: g\left(-2 + \sqrt 3\right),\:f\left(\dfrac52\right)$ et $g\left(\dfrac52\right)$.

Peut-on en déduire, sans autre calcul, une solution de l'équation $f(x) - g(x) = 0$ ?
\item Factoriser les polynômes $f(x)$ et $g(x)$.
\item Soit la fonction rationnelle $h$ de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[h(x) = \dfrac{(x + 1)(3x- 4)}{(3x - 4)^2}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ensemble de définition de cette fonction $h$ ?
		\item Simplifier $h(x)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, successivement dans $\N$, dans $\Z$, puis 
dans $\R$, l'équation
\[(x + 1) (3x - 4) = 0.\]
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B.} - Toutes les questions sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{A},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$.

On donne les points B et C de coordonnées respectives (1~;~2) et (5~:~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire le point D tel que 
\[\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}.\]
Quelle est la nature de (A, B, C, D) ? 

Quelles sont les coordonnées du milieu I de [BD] ?
\item Montrer que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
\item Calculer, en degrés, avec la précision permise par les tables trigonométriques, l'écart angulaire des deux demi-droites [AC) et [AB).
\item On considère le cercle $(\gamma)$ de diamètre [AB] et le cercle $(\gamma')$ de centre B et de rayon [BA].

Préciser la position de ces cercles et de la droite (DA).

Le cercle $(\gamma)$ recoupe la droite (AC) en H et le cercle $(\gamma')$ recoupe la droite(AC) en K.

Montrer que K est le symétrique de A par rapport à H.

Déterminer les coordonnées du point H, puis celles du point K.
\item Comparer $\overline{\text{CH}} \cdot \overline{\text{CA}}$ et CB$^2$, puis $\overline{\text{CK}} \cdot \overline{\text{CA}}$ et CB$^2 - \text{BA}^2$.
\end{enumerate}
\end{document}