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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1967}
\rfoot{\small Laos}
\lfoot{\small septembre 1967}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Laos septembre 1967 \decofourright}}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression 
\[y = \dfrac{1}{1 + \dfrac{3x - 1}{2 - 3x}}.\]

\item Représenter graphiquement la fonction $y$ ainsi obtenue, en prenant 1 cm comme unité sur les deux axes de coordonnées.

Soit $(D)$ la droite ainsi obtenue.

On appelle A le point d'intersection de la droite $(D)$ avec l'axe des ordonnées et B le point de la droite $(D)$ d'abscisse + 2.

Calculer les coordonnées des points A et B.
\item Par le point C de coordonnées (+ 4~;~0), on trace la droite $(D')$ perpendiculaire à $(D)$.

Trouver l'équation de la droite $(D')$ et montrer qu'elle passe par M, milieu de [AB].
\item Déterminer les équations des droites (AC) et (BC) et en déduire la nature du triangle ACB.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Soit un segment de droite [AB]. Des points A et B on mène les perpendiculaires (A$x$) et (B$y$) à (AB), du même côté de (AB).

Soit D un point de (B$y$). Du point B on mène la perpendiculaire à (AD), qui coupe (AD) en I et (A$x$) en C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, quelle que soit la position du point D sur (B$y$), le point I appartient à un cercle fixe, de centre O.
\item Démontrer les relations
\begin{center}AB$^2=$ AC $\cdot$ BD \quad et \quad AB$^2 + $ CD$^2$ = AC$^2 +$ BD$^2$.\end{center}
\item Montrer que la tangente en I au cercle (O) passe par les milieux de [AC] et de [BD].
\end{enumerate}
\end{document}