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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Laos septembre 1968~\decofourright}\\[7pt]ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne l'expression 
\[E(x) = (2x + 1)(3x + 5) - (2x + 1)(4x + 7) + 4x^2 - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer $E(x) $ en produit de facteurs.
\item On désigne l'un des facteurs par $y_1$ l'autre par $y_2$.

Représenter graphiquement les fonctions $y_1$ et $y_2$ (on prendra le centimètre comme unité sur chaque
axe).

Quelles sont les coordonnées du point de rencontre M
des deux graphes ?

Vérification par le calcul.
\item La première courbe coupe $y'y$ en A, la seconde coupe $x'x$ en B.

Calculer l'aire du triangle MAB.
\item Trouver l'équation de la droite (AB).

\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit un carré OABC de côté $R$.

On trace le cercle de centre O passant par C et A et l'on désigne par F le point diamétralement opposé à C.

Sur le demi-cercle CF qui ne contient pas A on marque un point D tel que CD $= R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Nature du triangle CDF.

Valeur de FD.
\item Soit E le point diamétralement opposé à D.
Par E on mène une tangente au cercle O. Elle coupe le prolongement de DF en P.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer PF.
		\item Quelle est la puissance du point P par rapport au cercle O ?
		
En déduire la valeur de PE.
	\end{enumerate}
\item Soit [OH] la hauteur du triangle OEC.

On trace (FH), qui coupe le cercle O en I.

Calculer EH, HC et FH.

Quelle est la puissance du point H par rapport au

cercle O ?

En déduire la valeur de IH.
\end{enumerate}
\end{document}