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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Laos}}
\rfoot{\small{septembre 1973}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Laos septembre 1973~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les polynômes suivants : 
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &= &\dfrac14(x + 3)(5x +9) - \left(\dfrac12 x + \dfrac32\right)^2\:\text{et}\\
B(x)&=&\dfrac14 x^2 - \dfrac94.
\end{array}\]

Les écrire sous forme de produits de facteurs du premier degré.
\item Soit la fonction rationnelle, $F$, de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[F(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}.\]
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'ensemble de définition, $\mathcal{D}$, de $F$.
		\item Écrire sous une forme plus simple $F(x)$ sachant
que $x$ appartient à $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $h = g \circ f$ sachant que $f$ et $g$ sont
des applications de $\R$ dans $\R$ définies par 
\begin{center}$f(x) = 2x + 3$\quad  et \quad $g(x) = \dfrac12 x - \dfrac32$.\end{center}
		\item Soit $\left(D_1\right)$, \:$\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$, les droites représentatives des variations de $f,\: g$ et $h$ par rapport à un même système d'axes orthonormés.

Montrer que $\left(D_1\right),\: \left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$ sont concourantes en un même point I, dont on déterminera les coordonnées $\left(x_0~;~y_0\right)$.

Trouver, sans calcul, l'image de $x_0$ par $F$ (application définie au 2.).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{N. B.} - La question 3. est indépendante des deux premières questions.
\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé
\Oij, on considère les points I, J, A, B, C et D définis par

\begin{center}$\vect{\text{OI}} = \vect{\imath}, \quad  \vect{\text{OJ}} = \vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OA}} = 4\vect{\imath} + 3\vect{\jmath}, \quad 
\vect{\text{OB}} = 2\vect{\imath} + 7\vect{\jmath}, \quad \vect{\text{OC}} = -2\vect{\imath}$ et $\vect{\text{OD}} = -4\vect{\jmath}$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Placer ces six points dans le plan (on prendra comme unité $1$~cm).
\item Quelle est la nature du quadruplet (A, B, C. D) ?

Trouver les coordonnées de son centre, M.
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.

Calculer, en degrés, avec la précision permise par les tables trigonométriques, l'écart angulaire des deux demi-droites [BA) et [BC).
\item Soit E la projection orthogonale du point D sur la droite (AB).

Comparer $\vect{\text{CM}}$ et $\vect{\text{DE}}$.
\item La perpendiculaire à (OI) passant par B coupe (AC) en G.

Montrer que G appartient à deux médianes du triangle (A, B, D).

Montrer que G appartient aussi à deux médianes du triangle (B, C, E).
\end{enumerate}
\end{document}