\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage[mathscr]{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text,pst-all}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{scratch}
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{multicol}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Brevet des collèges},
pdftitle = {Liban juin 1951},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 1951}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 1951~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Deux amis habitent l'un la ville A, l'autre la ville B, distantes de $150$~km.

Ils se donnent rendez-vous en un point M de la route en ligne droite [AB] entre A et B et tel que AM $= x$~kilomètres.

Ils doivent s'y rendre en automobile. La voiture du premier (A) consomme
$8$~litres d'essence aux $100$~km, celle du second (B) consomme $12$~litres aux $100$~km 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les quantités $y_1$ et $y_2$ d'essence (en litres) nécessaires à chacun d'eux pour se rendre en M.
\item Représenter graphiquement sur un même système d'axes de coordonnées chacune des deux fonctions $y_1$ et $y_2$.

(Unités  : sur l'axe des $x$ : 1 cm pour $15$~km; sur l'axe des $y$ : $1$~cm pour $2$~litres).
\item Calculer $x$ pour que les quantités d'essence nécessaires à chacun des deux amis soient égales.

Vérifier le résultat sur le graphique.
\item Déterminer $x$ pour que la consommation totale d'essence faite par les deux amis soit égale à $16$~litres.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\smallskip

On donne un triangle isocèle fixe ABC de base BC et le cercle circonscrit à ce triangle.

On mène par A à l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{A}}$ une demi-droite variable qui coupe la corde [BC] en I et l'arc $\widearc{\text{BC}}$ en D.

On abaisse de C la perpendiculaire (CH) sur (AD).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur quelle ligne fixe reste le point H ? Montrer que la distance de H au milieu de [AC] est constante.
\item Démontrer que les triangles AIC et ACD sont semblables.

En déduire que 
\begin{center}$\overline{\text{AC}}^2 =$ AI $\times$ AD.\end{center}

\item On mène la droite (DB) qui coupe le prolongement de [CH] en G.

Démontrer que G est le symétrique de C par rapport à (AD).

En déduire que le point G reste sur une ligne fixe.
\end{enumerate}
\end{document}