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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Liban juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Pour aller de Tyr à Tripoli, une voiture automobile met (raisonnablement) 3 heures et demie pour parcourir les $175$~km qui séparent ces deux villes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la vitesse de la voiture en kilomètres à l'heure ? Au bout de combien de temps passera-t-elle à Beyrouth, située à 80~km de Tyr ?
\item Étant partie de Tyr à l'heure habituelle et roulant à la vitesse trouvée à la première question, il survient à cette voiture un incident qui provoque un arrêt de 45 minutes.

Boulant ensuite à $75$~km à l'heure, la voiture arrive cependant à Tripoli à l'heure habituelle.

À combien de kilomètres du départ s'est produit l'incident?
\item Représenter sur un même graphique le mouvement de la voiture:
	\begin{enumerate}
		\item dans un voyage normal;
		\item dans le voyage défini à la deuxième question [on portera le temps en abscisse (1 cm pour 15 minutes) et la distance parcourue en ordonnée (1 cm pour $10$~km)].
	\end{enumerate}	
\item Est-il possible de trouver la réponse au 20 directement, sans calculs, par une méthode purement graphique?

Expliquer comment.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient le cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon $R$ donnés.

À un point fixe de ce cercle $\mathcal{C}$, B un point fixe du diamètre [AA$'$]. 

(On fera la figure dans le cas où A et B sont de part et d'autre de O et où
OB $=\dfrac R4$)

On considère un diamètre mobile [MM$'$].

Les droites (AM) et (BM$'$) se coupent en P{}.

La parallèle menée de P à (MM$'$) coupe (AB) en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles BIP et BOM$'$ ? des triangles AIP et AOM ?
\item Montrer que ie rapport $\dfrac{\text{IA}}{\text{IB}}$ est constant.

En déduire que I est fixe.
\item Quel est le lieu géométrique de P ?

Le situer de façon précise par rapport au cercle $\mathcal{C}$.
\item A, O, B ayant la disposition déjà indiquée et OB $=\dfrac R4$, on considère la position particulière du point M pour laquelle les diamètres, [MM$'$] et [AA$'$] sont perpendiculaires.

Calculer en fonction de $R$ les longueurs AP, BP, M'P et la longueur de la hauteur issue de A dans le triangle AM$'$P.
\end{enumerate}
\end{document}