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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Liban}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Un groupe de voyageurs comprenant $30$ grandes personnes et $20$ enfants désire entreprendre un voyage en avion.

Une compagnie de navigation aérienne met à leur disposition un avion de $50$ places au prix total de \np{28000} livres.

Le responsable chargé de répartir cette dépense entre les $50$ voyageurs, fixe un prix de billet pour grande personne et un prix de billet pour enfant.

On désignera les deux prix en question par $x$ et $y$.

Certaines familles comprenant plusieurs enfants s'estiment défavorisées.

On propose alors d'augmenter de 1/6 le prix du billet pour grande personne et de diminuer de 3/10 le prix du billet pour enfant ; cela ne change rien au prix total du voyage, qui reste égal à \np{28000} livres.

Cette proposition est acceptée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quels étaient les prix de x et y primitivement proposés?
\item Considérer le cas d'une famille comprenant le père, la mère et $n$ enfants.

Quelle doit être la valeur minimum de $n$ pour que la solution finalement adoptée soit plus favorable que la solution primitive ? (La solution la plus favorable étant celle qui entraîne la dépense la plus faible.)
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne trois points A, B et C, alignés dans cet ordre sur une droite $xy$, que l'on choisira horizontale.

On pose AB $= m$ et BC $= n$.

B$b$ est la demi-droite perpendiculaire en B à $xy$ et située au-dessous de $xy$.

C$c$ est la demi-droite perpendiculaire en C à $xy$ et située au-dessus de $xy$.

Par A, on trace une droite qui coupe B$b$ en M.

La perpendiculaire à (AM) passant par A coupe C$c$ en N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles ABM et ACN sont semblables.
\item En déduire la valeur du produit BM $\times$ CN en fonction de $m$ et $n$.
\item Soit P le pied de la perpendiculaire menée de A sur (MN).

Montrer que les quadrilatères ABPM et APCN sont inscriptibles.
\item En déduire que l'angle $\widehat{\text{BPC}}$ est droit et trouver le lieu de P quand l'angle droit $\widehat{\text{MAN}}$ tourne autour de A.
\end{enumerate}
\end{document}