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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On donne l'expression 
\[E(x)  = \dfrac{(x + 3)^2 - (5x - 4)^2}{36x^2 - 1}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire le numérateur sous la forme d'un produit de facteurs ; faire de même pour le dénominateur, puis simplifier $E(x)$.
\item Déterminer $x$ pour que $E(x) = 1$.
\item Soient $D$ et $D'$ les droites représentatives des fonctions
\begin{center}$y = 7 - 4x$\qquad  et \qquad $y = 6x + 1$.\end{center}

Tracer ces droites et calculer les coordonnées de leur point d'intersection, P.

Pourquoi retrouve-t-on le nombre obtenu à la question 2. ?

(L'unité de longueur sur les axes est le centimètre.)
\item Soit B la projection orthogonale du point P sur l'axe $x'\text{O}x$.

Les droites $D$ et $D'$ coupent respectivement l'axe $x'\text{O}x$ aux points E et F{}.

Calculer EB, EF et la longueur du segment [PF].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit un demi-cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$.

On construit en A et B les deux tangentes A$x$ et B$y$ et l'on prend un point M sur le demi-cercle.

(AM) coupe B$y$ en P et (BM) coupe A$x$ en Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles AQB et APB sont semblables et en déduire la relation
\begin{center}AQ $\cdot$ BP $= 4R^2$.\end{center}
\item Dans le cas où l'angle $\widehat{\text{MAB}}$ vaut $60\degres$, calculer, en fonction de $R$, la longueur des côtés et des diagonales du trapèze AQPB.
\item On mène en M la perpendiculaire au plan du demi-cercle de diamètre [AB].

Soit C un point de cette perpendiculaire tel que MC = MA.

Calculer CB et CP en fonction de $R$.

L'angle $\widehat{\text{PCB}}$ est-il droit ?
\end{enumerate}
\end{document}