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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 1962}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Liban juin 1962}}

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT.

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne les expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& (2x - 5)^2 -(x - 4)^2,\\
B(x)&=& 2x^2- 18- (x + 3)^2 + 8x + 24.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Écrire $A(x)$ et $B(x)$ sous forme de polynômes ordonnés.
\item Décomposer $A(x)$ et $B(x)$  en produits de facteurs.
\item Simplifier la fraction
\[F(x) = \dfrac{x^2 + 2x -3}{3x^2 - 12x + 9}.\]

Calculer $x$ pour que l'on ait $F(x) = 0$ et pour que l'on ait $F(x) = 1$.
\item Représenter sur un même graphique les fonctions 
\begin{center}$y_1 = x + 3$ \qquad et\qquad  $y_2 = 3x - 9$.\end{center}
Retrouver sur le graphique les solutions de la question 3.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de diamètre [BC] tel que BC $= 2R$ (centre O) et un point P sur [BC] tel que OP $= 3R$.

De P on mène la tangente (PA) au demi-cercle.

Soient H la projection de A sur (BC) et B$'$, C$'$ les projections de B et C
sur la tangente (PA).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer PA, puis OH en fonction de $R$.
\item Calculer les longueurs AB, AC, AH.
\item Comparer les triangles BAB$'$ et CAC$'$, puis les triangles BAB$'$ et BAC.

En déduire que l'on a AB$'$ = AH.
\item Montrer que le cercle de diamètre [B$'$C$'$] passe par H.

En déduire la relation 
\begin{center}PH$^2 =$ PB$' \cdot$ PC$'$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}