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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Liban juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\smallskip

\textbf{I.} - On donne les équations suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\quad &2x + y  + 1	&=& 0,\\
(2)\quad &x - 2y + 8	&=&0.\\
(3)\quad &7x - 4y - 4 	&=& 0.
\end{array}\right.\]

À ces équations correspondent respectivement, dans un repère orthonormé, des droites, 
$\left(D_1\right),\: \left(D_2\right),\:, \left(D_3\right)$.

Elles se coupent en

A, intersection de $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$,

B, intersection de $\left(D_2\right)$ et $\left(D_3\right)$,

C, intersection de $\left(D_2\right)$ et $\left(D_1\right)$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées de points A, B et C.
\item Calculer les côtés du triangle ABC.
\item Justifier, si possible de deux manières, la particularité géométrique intéressante que présente le triangle ABC.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.}

\begin{enumerate}
\item Décomposer l'expression 
\[E(x) = \left(x^2 + z^2 - y^2\right)^2 - 4x^2z^2\]

en un produit de deux facteurs.
\item Décomposer maintenant chacun des facteurs précédents en un produit de deux nouveaux facteurs, de manière à obtenir $E(x)$ sous la forme d'un produit de quatre facteurs du premier degré.
\item En utilisant le résultat obtenu en 2., montrer que les trois expressions suivantes sont identiques : 

$(x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2 $ ;

$\left(z^2 + y^2 - x^2\right)^2 - 4z^2y^2$ ;

$\left(y^2 + x^2 - z^2\right)^2 - 4y^2x^2$.
\end{enumerate}
\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soit $(C)$ un demi-cercle, de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 6$, [B$z$) la tangente en B à $(C)$ tracée du même côté que $(C)$ par rapport à (AB).

On prend sur [B$z$) un point M quelconque et l'on trace le demi-cercle $(S)$ de diamètre [BM] (dont le centre est désigné par I).

Soit D le point d'intersection de $(C)$ et $(S)$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que A, D et M sont en ligne droite.
\item Que peut-on dire des droites (DO) et (DI) ?
\item Une droite quelconque issue de I coupe $(C)$ en E et F; montrer que 
\begin{center}IE $\cdot$ IF = IB$^2$.\end{center}

\item Sachant que $\widehat{\text{DAB}} = 30\degres$, calculer la longueur des segments [IM] et [DM].
\item Maintenant, on ne sait rien sur $\widehat{\text{DAB}}$, mais on donne AD $= 4,8$.

Calculer la longueur des segments [DB] et [BM], ainsi que
le sinus de l'angle $\widehat{\text{DAB}}$.
\end{enumerate}
\end{document}