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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban  juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On considère les fonctions, $f$ et $g$, dans $\R$ défini par
\[\begin{array}{l c l}
f(x) = (4x + 5)^2 - (2x + 8)^2 \:\text{et}\\
g(x) = (2x - 3)(1 - 3x) - 4x^2 + 12x - 9.
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $f(x)$ et $g(x)$ sous forme de produits facteurs du premier degré.
\item On considère la fonction rationnelle, $F$, définie dans $\R$, par
\[F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}.\]

Sur quel ensemble, $\mathcal{D}$, cette fonction est-elle définie ?

On appellera $G(x)$ la fonction $F(x)$ simplifiée.

Sur quel ensemble, $\mathcal{D}'$, la fonction $G(x)$ est-elle définie ?
\item $U$ et $V$ désignent les ensembles suivants:

\[\begin{array}{l c l}
U&=& \left\{x | x \in \R,\: 6x+13 \geqslant 0\right\}\: \text{et}\\
V&=& \left\{x | x \in \R,\: 4 - 5x > 0\right\}.
\end{array}\]

Écrire $U \cap V$ sous forme d'intervalle de $\R$.

Quel est le signe de $G(x)$ pour $x$ appartenant à $U \cap V$ ?

En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles $G(x)$ sera de signe négatif.
\item Quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction rationnelle $- 2G(x)$ prendra des valeurs strictement négatives ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans un plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on donne les points
\begin{center}A(1~;~6),\qquad  B$(-3~;~-2)$\quad  et \quad C$(5~;~-2)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\left\|\vect{\text{AB}}\right\|,\:\left\|\vect{\text{AB}}\right\|$\:et \: $\left\|\vect{\text{AC}}\right\|$.

Que peut-on dire du triangle (ABC) ?
\item Soit B$'\left(\dfrac{17}{5}~;~\dfrac65\right)$ un point de la droite (AC).

Montrer que les droites (AB$'$) et (BB$'$) sont perpendiculaires.
\item Le point A$'$, milieu du segment [BC], se projette orthogonalement en D sur (AC).

Quelles sont les coordonnées de D ?
\item On considère l'application du plan dans le plan qui du point M$(x~;~y)$ donne une image M$'(x'~;~y')$, telle que (AN) soit la médiatrice du segment [M, M$'$], c'est-à- dire la symétrie par rapport à (AA$'$).

On désigne par C$'$ et E les images respectives de B$'$ et de D.

Montrer qu'il existe un réel $k$ tel que $\vect{\text{B}'\text{C}'} = k\vect{\text{DE}}$.

Calculer $k$.
\end{enumerate}
\end{document}