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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1986}
\rfoot{\small Liban}
\lfoot{\small juin 1986}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Liban juin 1986 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Travaux numériques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Calculer en exprimant le résultat sous forme d'une fraction irréductible :

\[\dfrac75 + \dfrac34 \:;\qquad \dfrac27 - 3\:;\qquad \dfrac{21}{4} \times \dfrac37\:;\qquad \dfrac23  : 5.\]

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

Rendre irréductible la fraction : $\dfrac{693}{\np{3150}}$.

\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip


Soit l'expression $f(x) = x^2 - 7x + 12$. Calculer :

\[f(0)\:,\qquad f(1);\:,\qquad f(4)\:,\qquad f(-2)\:,\qquad f\left(\dfrac23\right)\:,\qquad f\left(\sqrt 5\right).\]

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Développer puis ordonner:

\[(2x+3)^2\:;\qquad (3x-1)^2\:;\qquad (5x - 2)(5x + 2).\]


\bigskip

\textbf{Travaux géométriques }

\bigskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{minipage}{0.4\linewidth}
Les droites $D$, $D'$ et $D''$ sont parallèles.

Calculer $x$ et $y$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.56\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(4.6,2.9)
%\psgrid
\psline(0,0.4)(4.5,0.4)\psline(0,1.4)(4.5,1.4)\psline(0,1.9)(4.5,1.9)
\psline(0.2,0)(1.3,2.5)\psline(3.9,0)(1.5,2.4)\psline(4.2,0)(3.4,2.8)
\uput[u](0,0.4){$D$} \uput[u](0,1.4){$D'$} \uput[u](0,1.9){$D''$}
\rput(0.7,1.7){2}\rput(0.4,0.9){5}\rput(2.6,1.7){2,5}\rput(3.3,0.9){$x$}\rput(4.2,0.9){4,5}
\rput(3.9,1.7){$y$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}

$\widehat{\text{BAC}} = 90\degres$ ;

$\widehat{\text{BCD}} = 90\degres$ ;

Calculer $x$ et $y$.

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(3.8,2.2)
\pspolygon(0.2,0.2)(2.1,0.2)(3.5,2)(0.2,1.8)(2.1,0.2)(0.2,0.2)(0.2,1.8)%ACDBCAB
\psframe(0.2,0.2)(0.4,0.4)
\uput[d](1.15,0.2){8}\uput[l](0.2,1){$x$}\uput[ur](1.15,1){10}
\uput[dr](2.8,1.1){9}\uput[ul](1.85,1.9){$y$}
\rput{45}(2.1,0.2){\psframe(0.2,0.2)}
\uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[l](0.2,1.8){B} \uput[dr](2.1,0.2){C} \uput[r](3.5,2){D}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

Soit un trapèze rectangle dont les bases mesurent $7$~cm et 10~cm et la hauteur $3$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire ce trapèze
\item Quelle est la mesure de chacun de ses angles ?
\item Calculer la mesure du côté non perpendiculaire aux bases.
\end{enumerate}

Soit un trapèze rectangle dont les bases mesurent $7$~cm et 10~cm et la hauteur $3$~cm.

\bigskip

\textbf{Problème}

\bigskip

Les candidats choisiront le problème A ou le problème B, celui qui correspond le mieux à leurs connaissances, et ils ne traiteront que celui-là.

\bigskip

\textbf{Problème A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant où $x$ et $y$ sont les inconnues réelles 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x+3y&=&29\\
2x + 7y&=&42
\end{array}\right.\]

\item Dans le plan muni d'un repère \Oij{} (on prendra 1 cm pour unité), on
considère la droite $(D)$ d'équation $4x + 3y = 29$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $2x+ 7y = 42$.

Montrer que les points A (5~;~3) et B$(8~;~-1)$ sont des points de la droite $(D)$, les construire, puis tracer $(D)$.

Construire $(\Delta)$
\item Déterminer graphiquement les coordonnées du point d'intersection I des droites $(D)$ et $(\Delta)$.

Pouvait-on prévoir ce résultat ?
\item Un commerçant a acheté :
\begin{itemize}
\item lundi $20$ kg de pommes et $15$ kg d'oranges . il a payé $145,00$ F{}.
\item jeudi $14$ kg de pommes et $49$ kg d'oranges; il a payé $294,00$ F{}.
\end{itemize}

En appelant $x$ le prix du kg de pommes et $y$ celui du kg d'oranges, écrire sous forme d'équations les renseignements de lundi et de jeudi et trouver le prix d'un kg de pommes et d'un kg d'oranges sachant que les prix étaient identiques lundi et jeudi.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème B}

\medskip

Une personne achète une voiture dont le prix de vente est \np{64500,00}~F. 

Pour le règlement, le vendeur lui propose deux solutions:

\begin{itemize}
\item 1\up{ère} solution : en payant comptant, le vendeur accorde une remise de 3\,\% sur le prix de vente de la voiture.
\item 2\up{e} solution : si le paiement a lieu à crédit, le règlement s'effectue ainsi:
	\begin{itemize}
		\item à la commande: \np{6450,00}~F,
		\item le reste majoré de 20\,\% en 48 mensualités.
	\end{itemize}
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix payé en choisissant la 1\up{ère} solution ?
\item Quel est le montant d'une mensualité pour la 2\up{e} solution ?
\item Quel est le prix final de la voiture si on paie à crédit ?
\item La voilure consomme $7$ litres d'essence au $100$~km.

On suppose que la consommation est proportionnelle à la distance parcourue (on ne tient pas compte de la vitesse)

Compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Distance en km& 0&100 &150&&400\\ \hline
Consommation en $l$&&&&21&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Représenter graphiquement la consommation en fonction de la distance parcourue (pour les distances comprises entre 0 et $400$~km)
\begin{itemize}
\item sur l'axe horizontal 1 cm représente $50$~km
\item sur l'axe vertical 1 cm représente $3,5~l$.
\end{itemize}
\item À l'aide du graphique, déterminer:

\begin{itemize}
\item la consommation d'essence pour parcourir $250$~km
\item la distance parcourue avec $24,5$~litres d'essence.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\end{document}