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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Liban et Syrie}}
\rfoot{\small{octobre 1957}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Liban et Syrie octobre 1957}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre le système d'équations suivant:
\[\left\{\begin{array}{l l c l}
(1)\qquad& x + 2y&=& 3,\\
(2)\qquad& 3x - y &=& 4.
\end{array}\right.\]

\item On considère deux axes de coordonnées rectangulaires O$x$ et O$y$.

Construire les droites $D_1$ et $D_2$ définies respectivement par les équations (1) et (2).

Quelle est la signification graphique du résultat du 1. ?
\item Soit M le point de rencontre de $D_1$ et $D_2$.

Former l'équation de la droite (OM) ainsi que celle de la perpendiculaire élevée en M à (OM).
\item Peut-on utiliser le résultat du 1. pour trouver la solution du système
\[\left\{\begin{array}{l c l}
2u + \phantom{2}v &=& 3uv,\\
- u + 3v&=& 4uv,
\end{array}\right.\]
où $u$ et $v$ sont les inconnues ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Soit ABC un triangle quelconque tel que $\widehat{\text{B}} > \widehat{\text{C}}$.

À l'intérieur de l'angle $\widehat{\text{B}}$ on trace la droite (BD) telle que $\widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{C}}$ ; D se trouve sur (AC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les triangles ABD et ACB.

En déduire que 
\begin{center}AB$^2 =$ AD $\cdot$ AC.\end{center}
\item Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre O circonscrit au triangle BDC.

Quelle est la position relative de la droite (AB) et du cercle $(\mathcal{C})$?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire avec la règle et le compas le triangle ABC, sachant que BC $= 4$~cm, que l'angle $\widehat{\text{A}}$ vaut $30\degres$ et que, de plus, [BD] est une hauteur du triangle ABC.

Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Soit v le cercle de centre O$'$ circonscrit au triangle ABC.

Calculer l'aire commune aux deux disques limités par les cercles $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$.

On donnera le résultat à $\dfrac{1}{100}$ près (les données étant
celles du 3.  a.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}