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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban septembre 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\smallskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère sur une route, et dans l'ordre, les points A, B, C et D :

AB $= 50$~km, BC $= 50$~km, CD $= 100$~km.

À 0 h une automobile, P{}, part de A vers D.

Elle s'arrête 1 heure en C puis repart vers D.

Elle se déplace à la vitesse de $100$ km/h.

On désigne la mesure de la distance AP par $x$ et l'heure par $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $x$ en fonction de $t$, suivant la portion de route où se trouve l'automobile.

Représenter graphiquement ce mouvement en portant le temps en abscisse et la distance en ordonnée.
\item Une deuxième automobile, Q, part de B vers D à $0$~h.

Elle se déplace à la vitesse de $40$~km/h et ne s'arrête pas en chemin.

Exprimer, en fonction de $t$, la mesure $y$ de sa distance à A.

Représenter le mouvement de Q sur le graphique du 1.

A quelles heures et à quelles distances de A, P et Q se dépassent-elles ?

Solution graphique et solution algébrique.
\item On désigne par $v$ la vitesse de l'automobile Q ; discuter, suivant les valeurs de $v$, le nombre de rencontres, avant l'arrivée en D, des automobiles P et Q.

Dire, en particulier, entre quelles limites on doit
choisir $v$ pour qu'elles se rencontrent trois fois avant D.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$, de centre O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item U étant un point de la tangente en A à $(\mathcal{C})$, (BU) rencontre $(\mathcal{C})$ en E.

La tangente en E à $(\mathcal{C})$ rencontre (AU) en P{}.

Montrer que P est le milieu de [AU].

On pose AU $= u$. Calculer, en fonction de $u$ et $R$, la longueur EU.
\item La tangente en M à $(\mathcal{C})$ rencontre en U et V les tangentes en A et B. On pose AU $= u$, BV $= v$.

La tangente autre que (UA) menée par U à $(\mathcal{C})$ rencontre la tangente à $(\mathcal{C})$ en B au point V et touche le cercle $(\mathcal{C})$ au point M.
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on dire des triangles AOU et BOV ?
		
Montrer que $uv = R^2$.
		\item Les droites (BU) et (AV) se rencontrent en I qui se projette orthogonalement en H sur (AB).
		
Évaluer, en fonction de $u$ et $v$, le rapport $\dfrac{\text{HA}}{\text{HB}}$.

Montrer que I est le milieu de [MH].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}