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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{septembre 1959}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle septembre 1959~\decofourright\\[7pt]Liban}}

\medskip

{\large \textbf{ARITHMÉTIQUE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Une somme de \np{1000} livres se compose d'un certain nombre de billets de $100$~livres, de $50$~livres et de $10$~livres.

Le nombre total des billets est $17$.

Sachant qu'il y a autant de billets de $50$~livres que de billets de $10$~livres, déterminer le nombre de billets de chaque sorte.
\item Le problème.est-il possible, en supposant qu'il ya autant de billets de $50$ livres que de billets de $100$~livres ?
\item On demande de déterminer le montant d'une autre somme, sachant qu'elle renferme $48$~billets et que le nombres de billets de $100$~livres, $50$~livres et $10$~livres sont respectivement proportionnels aux nombres 3, 4 et 5.

Le problème est-il possible si l'on suppose qu'il y a au total $44$ billets ?
\end{enumerate}

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un demi-cercle de diamètre AB $= 2R$ et un point M quelconque de l'arc 
$\widearc{\text{CB}}$, C étant l'extrémité du rayon perpendiculaire en 0 à AB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Entre quelles limites varie la mesure de l'angle $\widehat{\text{HAM}} = x$, lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{BC}}$ ?
\item H étant le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur (AB), calculer, en fonction de $R$ et de $x$, les longueurs des segments [AM], [MB], [AH] et [BH].
\item En calculant MH, d'abord dans le triangle OMH puis dans le triangle AMH, établir la relation 
\[\sin 2x= 2\sin x \cdot \cos x\]

\item Le cercle circonscrit au triangle OMB recoupe (AM) en N.

Que peut-on dire des triangles AMB et AON ?

En déduire, en précisant les limites, le lieu géométrique de N, lorsque M décrit l'arc $\widearc{\text{BC}}$.
\item Calculer AN en fonction de $R$ et de $x$.
Pour quelle valeur de $x$ a-t-on AN $= \dfrac{2R \sqrt 3}{3}$ ?
\end{enumerate}
\end{document}