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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1963}
\rfoot{\small Liban}
\lfoot{\small juin 1963}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Liban juin 1963 \decofourright}}
\\[8pt]\textbf{ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large ALGÈBRE}

\medskip

\textbf{Partie I.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre les expressions suivantes sous la forme de produit de facteurs du premier degré en $x$.

\[\begin{array}{l c l}
A &=& (2x + 3)(5x - 7) + (2x + 3)^2 - (2x + 3) (x - 1).\\
B &=& (5x + 2) - (3x - 6)^2.
\end{array}\]

\item Peut-on simplifier la fraction $\dfrac AB$ ?
\item Résoudre 1'équation $\dfrac AB = \dfrac12$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II.}

\medskip

Représenter graphiquement par rapport à un
même système d'axes de coordonnées les fonctions suivantes :

\begin{center}\quad $y = 2x- 7$ \quad et \quad $y = - 3x + 3$.\end{center}

Les deux courbes obtenues se coupent en un point, P, dont on calculera les coordonnées.

Déterminer l'équation de la droite, OP, joignant le point P à l'origine des axes.


\bigskip

\textbf{\large GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un angle $x$O$y$, deux droites $(D)$ et $(D')$, qui passent par O et sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle $\widehat{x\text{O}y}$, un point A sur $(D)$, un point A$'$ sur $(D')$.

Soient P et P$'$ les projections orthogonales de A et A$'$ sur O$x$, Q et Q$'$ les projections orthogonales de A et A$'$ sur O$y$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les triangles OAP et OAQ sont respectivement semblables aux triangles OA$'$Q$'$ et OA$'$P$'$.

En déduire la relation

\begin{center}OP $\times$ OP$'$ = OQ  $\times$ OQ$'$.\end{center}

\item Démontrer que les triangles OPQ et OPQ$'$ sont semblables.

Démontrer que les quatre points P, Q, P$'$, Q$'$ sont sur un même cercle.
\item Démontrer que les triangles APQ et A$'$P$'$Q$'$ sont semblables.
\item La droite AA$'$ coupe O$x$ et O$y$ respectivement en M et N.

Comparer les triangles NA$'$Q$'$ et NAQ puis les triangles APM et A$'$P$'$M.

En déduire la relation

\begin{center} $\dfrac{\text{AM} \times \text{AN}}{\text{A}'\text{M} \times \text{A}'\text{N}} = \left(\dfrac{\text{OA}}{\text{OA}'}\right)^2$\end{center}
\end{enumerate}

\end{document}