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%Tapuscrit : Denis Vergès  rectifié par Céline Galland (merci !)
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Liban mai 2008~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\end{center}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Activités numériques} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Au moment des fêtes de Noël, un client achète 6~boules et une guirlande dans un grand magasin. Il paie 18,40~\euro.

Le client suivant possède une carte de fidélité de ce magasin lui donnant droit à une réduction de 20\:\% sur tous les articles. Il achète cinq boules et cinq guirlandes. En présentant sa carte de fidélité à la caisse, il paie alors 25,60~\euro.
 
\medskip

Le problème est de retrouver le prix d'une boule et d'une guirlande.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En considérant, l'achat du premier client, expliquer ce que représentent $x$ et $y$ quand on écrit l'équation : $6x + y = 18,40$. Préciser l'unité de $x$ et de $y$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi appliquer une réduction de 20\:\% revient à multiplier ce prix par $0,8$. 
		\item En considérant l'achat du deuxième client, quelle équation peut-on écrire ? Montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme : $x +y = 6,40$.
 	\end{enumerate}
\item Résoudre le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
6x+y&=&18,40\\
x+y &=& 6,40\\
	\end{array}\right.$

\item Donner le prix d'une boule et celui d'une guirlande.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
On donne l'expression $E = (x - 5)^2 + (x - 5) (2x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item  Pour calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$ Marc a choisi de développer $E$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle expression obtient-il ? 
		\item  Calculer la valeur exacte de $E$ lorsque $x = \sqrt{3}$.
		\item  Marc a-t-il eu raison de développer $E$ ? Pourquoi ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Léa a trouvé mentalement une solution, de l'équation $E = 0$. À votre avis, laquelle ? 
		\item  Pour trouver l'autre solution, Lea choisit de factoriser $E$. Montrer que
		
$E = (x - 5)(3x - 4)$. 
		\item  Donner, alors la seconde solution de l'équation $E = 0$.
	\end{enumerate}
\item Lorsque $x = \dfrac{1}{9}$, choisir la forme de $E$ qui vous paraît la plus adaptée pour calculer la valeur exacte de $E$ sous forme de fraction irréductible. Faire ce calcul.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Activités géométriques} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip
 
Pour chaque ligne du tableau donné, trois réponses sont proposées mais une seule est exacte. Ecrire sur la copie le numéro de la question et la réponse exacte A, B ou C choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{5.5cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&&	A& 	B&C\\ \hline
1&Dans un triangle ABC rectangle en A, on
sait que AB = 3 et que $\widehat{\text{ACB}} = 30\degres$ alors la valeur, exacte de BC est \ldots&$\dfrac{\tan 30\degres}{3}$&$3 \sin 30\degres$&	$\dfrac{3}{\sin 30\degres}$\\ \hline
2&Tous les triangles sont équilatéraux. L'image du triangle 2 par la rotation de 120\degres autour de B dans le sens contraire des
aiguilles d'une montre  \psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,2.598)
\pspolygon(1,0)(2,0)(1.5,0.866)
\pspolygon(1.5,0.866)(2,1.732)(1,1.732)
\psline(1,0)(0.5,0.866)(2.5,0.866)(2,0)
\rput(1.5,2){1} \rput(1,1.2){2} \rput(1.5,1.5){3} 
\rput(2,1.2){4} \rput(0.5,0.3){5} \rput(1,0.5){6} 
\rput(1.5,0.3){7} \rput(2,0.5){8} \rput(2.5,0.3){9} \rput(1.5,1.2){B}
\rput(2.7,2.3){est le~\ldots}
\end{pspicture}&triangle 6&	triangle 4&	triangle 7\\ \hline
3&
Sur le cercle de centre O, on donne les
points A, B, C et D tels que 

$\widehat{\text{AOB}} = 64\degres$ et
	$\widehat{\text{BDC}} = 20\degres$, donc $\widehat{\text{AOC}} = \ldots$
	 \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,2)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){1.5}
\pspolygon(1.5;-126)(1.5;-14)(0;0)(1.5;90)
\psline(1.5;-126)(1.5;26)
\uput[dl](0;0){O} \uput[u](1.5;90){A} \uput[ur](1.5;26){B} \uput[dr](1.5;-14){C} \uput[dl](1.5;-126){D} 	
	\end{pspicture}&
		84\degres&	104\degres&	74\degres\\ \hline
4&Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en
C. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.	
	Sachant que AC = 2, CD = 5 et CE = 9,
 	pour calculer BC, on peut écrire : \ldots&\rule[5mm]{0pt}{3pt}$\dfrac{2}{9} = \dfrac{\text{BC}}{5}$ &$\dfrac{2}{\text{BC}} = \dfrac{9}{5}$ &$\dfrac{2}{5} = \dfrac{\text{BC}}{9}$\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip
 
\textbf{L'unité de longueur est le centimètre.}
\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthonormé, placer les points A (1 ; 3), B$(2~;~ - 1)$, C$(-2~ ;~ 1)$ et D$(4~;~ -2)$.
\item  Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AC].
\item  Calculer les coordonnées du vecteur $\vect{\text{BC}}$.
\item  Calculer les coordonnées du point E tel que le quadrilatère ABCE soit un parallélogramme. Justifier vos calculs.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire un triangle équilatéral BFG de centre D. Laisser les traits de construction.
		\item Donner la valeur exacte puis arrondie au millimètre du rayon BD du cercle circonscrit à ce triangle.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}  

\medskip

\textbf{Les trois parties sont indépendantes}

\medskip

Une entreprise décide de fabriquer des paquets cubiques de lessive.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
L'arête de chaque paquet doit être un nombre entier de centimètres.

Pour transporter ces paquets, on les range dans des caisses parallélépipédiques dont le fond est un rectangle de 96~cm de large et 156~cm de long. On souhaite  recouvrir la totalité du fond de la caisse par des paquets.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la longueur maximale de l'arête d'un paquet est 12~cm. 
\item  Combien de paquets peut-on alors disposer au fond de la caisse ? 
\item  Les caisses ont une hauteur de 144~cm. Combien de paquets une caisse pourra-t-elle contenir ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Un paquet vide pèse 200~g. On y verse de la lessive. On sait que 1~cm$^3$ de lessive pèse 1,5~g. 
	\begin{enumerate}
		\item  Reproduire le tableau suivant sur la copie et le compléter :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{X|}}\hline
Volume de lessive $\left(\text{en cm}^3\right)$	&400&800&\np{1600}	&$x$\\ \hline
Masse de lessive (en g)							&	&	&			&\\ \hline
Masse totale d'un paquet de lessive (en g)		&	&	&			&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item  On voudrait que la masse totale d'un paquet de lessive soit \np{2300}~g. Quel volume de lessive doit alors contenir ce paquet ? 
 	\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction qui à $x$ associe $1,5x + 200$.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter graphiquement cette fonction dans un repère orthogonal.
		
\emph{On placera l'origine du repère en bas à gauche sur une feuille de papier millimétré.}

\emph{Sur l'axe des abscisses on prendra $1$~cm pour $200$~cm$^3$ et sur l'axe des ordonnées $1$~cm pour $200$~g.}
		\item  En laissant les traits de construction apparents, retrouver, par lecture graphique, le volume de lessive contenu dans un paquet de lessive de \np{2300}~g.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie III}
 
Sur deux faces de chaque paquet d'arête 12~cm doit figurer une bande publicitaire comme l'indique la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(2.4,2.4)%ABCD
\psline(2.4,0)(3.4,0.9)(3.4,3.3)(2.4,2.4)%BFGC
\psline(3.4,3.3)(1,3.3)(0,2.4)%GHD
\uput[d](0,0){A} \uput[d](2.4,0){B} \uput[ul](2.4,2.4){C} \uput[ul](0,2.4){D} 
\uput[dr](3.4,0.9){F} \uput[ur](3.4,3.3){G} \uput[ul](1,3.3){H} \uput[l](0,0.8){I} 
\uput[ul](2.4,1.6){J} \uput[r](3.4,2.5){K} \uput[dr](2.4,0.8){L}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(2.4,0.8)(3.4,2.5)(3.4,3.3)(2.4,1.6)(0,0.8) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,0.4)(0,1.2)(0,2)(2.4,0.4)(2.4,1.2)(2.4,2)(3.4,1.3)(3.4,2.1)(3.4,2.9)
\qdisk(0,1.6){1pt} \qdisk(3.4,1.7){1pt} 
\psframe(2.4,2.4)%ABCD
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}$ de la face BFGC avec sa bande LKCJ.
\item  Montrer que l'aire de la bande sur le dessin est 3~cm$^2$. En déduire l'aire réelle de cette bande.
\end{enumerate}
\end{document}