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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1978}
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\lfoot{\small juin 1978}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1978 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Algèbre}

\medskip

Un élève a deux notes sur 20 en mathématiques,

\begin{itemize}
\item l'une de contrôle (notée $x$),
\item l'autre de devoir (notée $y$).
\end{itemize}

On appelle moyenne pondérée de cet élève le nombre

\[m = \dfrac{3x +2y}{5}.\]


(On dit que $x$ est affecté du coefficient 3 et $y$ du coefficient 2.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la moyenne pondérée de Paul qui a eu 12 en contrôle et 13 en devoir.
\item Christian veut avoir $10$ de moyenne pondérée. 

Il a eu $4$ en devoir. Quelle note lui faut-il en contrôle ?
\item Arnaud a eu comme moyenne pondérée $14$. 

Il s'aperçoit qu'en intervertissant ses notes de devoir et de contrôle, il obtient une moyenne pondérée de $16$. 

Quelles sont ses notes en devoir et en contrôle ?
\item En intervertissant également ses notes de devoir et contrôle, Béatrice trouve deux fois la même moyenne pondérée $m$. 

Que peut-on dire de ses deux notes ?

Justifier la réponse.
\item Denise trouve comme moyenne pondérée $16,4$ en faisant ses calculs normalement et $12,4$ en intervertissant devoir et contrôle.

Que peut-on en conclure?
\item Représenter graphiquement la droite $(D)$ d'équation

\[\dfrac{3x +2y}{5} = 12.\]

\item Expliquer comment on peut trouver sur le graphique:
	\begin{enumerate}
		\item la note de devoir de Françoise, qui a eu $12$ de moyenne pondérée et $10$ en contrôle;
		\item la note de contrôle de Gisèle qui a $12$ de moyenne pondérée et $10$ en devoir.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Géométrie}

\medskip

On représentera la figure en vraie grandeur et on la complétera au cours du problème.

\smallskip

Soit un triangle équilatéral (A, B, C) tel que $d$(A, B) $= 6$~cm.

Soit H la projection orthogonale du point A sur la droite (BC).

Soit O le milieu du segment [AC].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est en radians la valeur de l'écart angulaire de chacun des trois angles géométriques du triangle (A, B, C) ?
		\item Calculer $d$(H, C); $d$(H, B) et $d$(A, H).
		\item En déduire la tangente de l'écart angulaire de l'angle
$\widehat{\text{ACH}}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $s$ la symétrie centrale de centre O.

On désigne par D l'image de H par $s$.
	\begin{enumerate}
		\item Construire D.
		\item Déterminer $s$(A) ; $s$(C); $s$(O).
		\item Quelle est la nature du quadruplet (A, H, C, D) ?
		\item Démontrer que le triangle (O, H, C) est un triangle équilatéral.
	\end{enumerate}
\item Tracer le cercle $(\mathcal{C})$ de centre C et de rayon [CO].
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la tangente en H au cercle $(\mathcal{C})$ ?
		\item Quelle est l'image par $s$ du cercle $(\mathcal{C})$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}