\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
%\usepackage[dvips]{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {Brevet},
%pdftitle = {Lille juin 1980},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1980}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1980}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1980 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par
\[f(x) = \left(\dfrac32 x + 1\right)^2  - \left(\dfrac12 x - 3\right)^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $f(x)$ sous la forme d'un produit de polynômes du premier degré.
\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant les puissances décroissantes de $x$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f( -2)$ et $f\left(2\sqrt 3\right)$.

		\item Simplifier l'écriture du rationne $\dfrac{\np{1540}}{660}$.
		\item Calculer $f\left(\dfrac{\np{1540}}{660}\right)$.
		
Calculer la valeur approchée à 0,01 près par défaut de $f\left(\dfrac{\np{1540}}{660}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$. 
		
Calculer la somme des solutions.
		\item Résoudre dans $\R$  l'équation $f(x) = - 8$. 
		
Calculer la somme des solutions. 

Quelle remarque peut-on faire ?
		\item Soit $b$ un nombre réel, calculer $f(b)$ et $f( -3 - b)$ ;  comparer les résultats. 
		
Utiliser ce résultat et ceux de la question \textbf{3. a.} pour trouver, sans faire les calculs,
\begin{center}$f\left(-3 - 2\sqrt 3\right)$ et $f(-3 + 2)$.\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Soit (A, B, C) un triangle rectangle en A, et tel que BC $= 12$ et AB $= 6$.

M est le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure (unité : le centimètre).
\item Calculer AC et AM.

Quelle est la nature du triangle (A, M, B) ? 
Que représente la droite (AH) pour ce triangle ?

En déduire HM et calculer AH.
\item Soit B$'$ le symétrique de B par rapport à A. 

Quelle est la nature du triangle (C, B, B$'$) ?
\item Soit I le milieu de [AM] et $\mathcal{C}$ le cercle de centre I et de diamètre AM.

Démontrer que H appartient au cercle $\mathcal{C}$.
\item Le cercle $\mathcal{C}$ recoupe [AB] et [AC] respectivement en P et Q. 

Quelle est la nature des triangles (A, Q, M) et (A, P{}, M) ? 

Démontrer que P et Q sont respectivement les milieux des segments [AB] et [AC].

Démontrer que [PQ] est un diamètre de $\mathcal{C}$.
\item Soit H$'$ le projeté orthogonal de A sur la droite (B$'$C).

Démontrer que les droites (AM) et (B$'$C) sont parallèles.

En déduire que la droite (AH$'$) est tangente en A au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}