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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1954}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large \decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille juin 1954}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Simplifier les fractions

\[A = \dfrac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}, \qquad B = \dfrac{2x + 2}{x^2 - 1}, \qquad C = \dfrac{4x^2 + 4x}{x^4 - 1}.\]

Vérifier que $A \times B = C$.
\item Calculer l'expression $E = A + B - C$.

Pour quelle valeur de $x$ cette expression prend-elle la valeur numérique 1 ?
\item Représenter sur un même graphique les variations des fonctions
\begin{center}$y = x + 1$\qquad et \qquad $y = 2x - 2$.\end{center}

Comment peut-on retrouver, au moyen de ce graphique, la valeur de $x$ telle que $E = 1$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle fixe de centre O ayant $12$~cm de diamètre et, sur ce cercle, un point A également fixe.

Deux cordes [AB] et [AC] de ce cercle varient en restant constamment perpendiculaires.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (BC) passe par un point fixe.

Quelle relation y a-t-il entre les longueurs des deux cordes [AB] et [AC] ?
\item M étant le milieu de [AB], comparer les longueurs des segments [OM] et [AC].
\item (OA) et (CM) se coupent en D.

Que représente ce point pour le triangle ABC ?

Quelle est la longueur OD ?
\item Déduire de ce qui précède la construction d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse a une longueur de $12$ cm et dont une médiane mesure $7$~cm.
\item Si, dans la question 4, on donnait une autre longueur pour la médiane, la construction serait-elle toujours possible ?

Qu'y aurait-il de particulier si la valeur donnée était $6$~cm ?
\end{enumerate}
\end{document}