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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1955~\decofourright\\[7pt]Enseignement long et enseignement court}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On considère les deux expressions .algébrique $y_1$ et $y_2$ :
\[\begin{array}{l c l}
y_1&=&(2x + 1)^2 + \dfrac 1x + x^2 + \sqrt{2x + 1},\\
y_2&=&\sqrt{2x + 1} + (3x + 2)^2 + \dfrac 1x - 9x^2 + 2x- 3.
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Comment faut-il choisir la valeur numérique de $x$ pour qu'on puisse calculer les valeurs correspondantes des deux expressions ?
\item Existe-t-il des valeurs de $x$ pour lesquelles les deux expressions $y_1$ et $y_2$ prennent la même valeur numérique ?
\item On imagine que, pour chaque valeur acceptable de la variable $x$, on calcule la valeur de $y_1$ puis celle de $y_2$ qu'on retranche cette dernière valeur de la précédente et qu'on divise la différence par la valeur donnée à $x$.

Le nombre ainsi obtenu dépend de la valeur de $x$.

Étudier sa variation lorsque $x$ prend toute les valeurs possibles.

Représenter graphiquement cette variation en utilisant un système d'axes de coordonnées rectangulaires $x'$O$x$, $y'$O$y$.

Déduire du graphique l'ensemble des valeurs de $x$ pour chacune desquelles l'expression $y_1$ prend une valeur numérique supérieure à celle prise par $y_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\medskip

On donne un cercle $\mathcal{C}$ de centre O ayant $8$~cm de diamètre et une corde, [AB], de ce cercle ayant pour longueur $4\sqrt 3$~cm.

Les tangentes au cercle $\mathcal{C}$ en A et en B ont un point commun, S.

On joint le centre du cercle à un point, P, de la corde [AB].

La perpendiculaire à (OP) passant par P coupe la tangente (AS) au point C et la tangente (BS) au point D.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les quadrilatères OBDP et OACP sont inscriptibles.
\item Déterminer la valeur en degrés de chacun des angles des triangles AOB et COD.
\item Dans le cas où PB $= 3$PA, calculer à 1 mm pris les longueurs OP, PC, PD, OC, OD.
\item Prouver que le cercle circonscrit au triangle SCD passe par le point O.
\end{enumerate}
\end{document}