\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.E.P.C.},
pdftitle = {Lille juin 1956},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1956}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle juin 1956~\decofourright\\[7pt]
Lille}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un demi-cercle de diamètre [AB] et de centre O et, sur ce demi-cercle, deux points P et Q placés dans l'ordre A, P{}, Q, B et tels que

\[\widehat{\text{AOP}} =x,\qquad  \widehat{\text{POQ}} = y.\]
l'unité d'angle étant le degré.

On appelle I le point commun aux segments de droite [OP] et [AQ].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ les angles des triangles API et OQI.
\item Quelle relation lie $x$ et $y$ lorsque le triangle API est isocèle, AP étant égal à AI ?

Représenter graphiquement la variation de $y$ en fonction de $x$ quand $x$ prend toutes les valeurs possibles.
\item Mêmes questions quand le triangle QOI est isocèle, QO étant égale à QI.
\item Déterminer par le calcul et aussi graphiquement les valeurs de $x$ et de $y$ lorsque les conditions des 2. et 3. sont toutes les deux réalisées, c'est-à-dire lorsque on a à la fois AP = AI et QO = QI.

Dans ce cas, si l'on porte sur le second demi-cercle de diamètre [AB] les arcs 

$\widearc{\text{AP}'} = \widearc{\text{AP}}$ et $\widearc{\text{AQ}'} = \widearc{\text{AQ}}$, que peut-on dire du pentagone PQBQ$'$P$'$ ?
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

On donne un triangle rectangle isocèle ABC (AB = AC $= a$).

M étant un point du segment [AB], on trace le demi-cercle de diamètre [AM] situé par rapport à la droite (AB) du même côté que le point C.

Soit T le point de contact avec ce demi-cercle de la tangente, autre que (AC), qui passe par C.

On désigne par I le milieu de [AT].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que représente la droite (CI) pour le triangle ACT ?
\item Comparer les triangles CIT et ATM.

En déduire des relations entre leurs côtés.

Comparer ensuite les triangles MAC et MTI.
\item Construire la figure dans le cas où T se trouve sur [BC]. Dans ces conditions, calculer la longueur AM.
\end{enumerate}

\smallskip

{\small \textbf{N.B. -} L'ordre des deux dernières questions peut être inversé au gré du candidat.}
\end{document}