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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1957}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1957}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1957 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Soient un point A d'abscisse zéro et d'ordonnée $a$ positive et un point B d'abscisse $c$ positive et d'ordonnée $b$ positive telle que $b \geqslant a$.

Sur O$x$ on prend un point M tel que l'abscisse de M réponde à la condition $0 < x < c$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.37\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-1,-1)(4,4)
\pspolygon(2.3,0)(3,2.8)(0,2)%MBA
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](2.3,0){M} \uput[ur](3,2.8){B$(c~;~b)$} \uput[ul](0,2){A} \uput[d](3,0){$c$} \uput[l](0,2.8){$b$} \uput[d](2.3,-0.25){$(x~;~0)$}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,2.8)(0,2.8)\uput[d](3.9,0){$x$}\uput[l](0,3.9){$y$}
\uput[l](0,1.8){$(0~;~a)$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Établir que l'aire $y$ du triangle AMB peut s'écrire

\[(1) \quad y = \dfrac{ac}{2} + \dfrac{b - a}{2}x.\]

\item Représenter graphiquement les variations de $y$ quand $a = 1,\: b = 3,\: c= 2$.
\item Dans l'expression (1) on fait $a = b$. Que devient $y$ ?

Expliquer ce résultat.

Pouvait-on le prévoir ?
\item L'aire $y$ du triangle est-elle encore représentée par la formule (1) si l'abscisse $x$ de M répond à la condition $x > c$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On considère un carré ABOC et l'on trace à son intérieur un arc de cercle de centre O, de rayon égal au côté du cané et limité aux sommets B et C.

D'un point M de cet arc on abaisse les perpendiculaires MC$'$, MB$'$, MA$'$ respectivement sur les côtés [AB], [AC] et la diagonale [BC] du carré.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Évaluer les angles $\widehat{\text{A}'\text{MB}'}$ et $\widehat{\text{A}'\text{MC}'}$.
\item Montrer que les quatre points A$'$, C, B$'$, M d'une part, A$'$, B, C$'$, M d'autre part sont situés sur un même cercle.
\item Comparer les angles $\widehat{\text{MB}'\text{A}'}$,\: $\widehat{\text{MCA}'}$,\: $\widehat{\text{MBC}'}$,\: $\widehat{\text{MA}'\text{C}'}$.
\item Démontrer la relation 
\begin{center}MA$'^2 =$ MB$' \times $ MC$'$.\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}