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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B.E.P{}.C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1958}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~Brevet d'Études du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille juin 1958}}

\medskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

On donne la fonction $y$ de la variable $x$ : $y = mx - 2$ 
dans laquelle $m$ est un nombre algébrique donné.



\medskip

\begin{enumerate}
\item On attribue à $m$  les valeurs successives $m = 1,\: m = 2$.

Représenter les deux fonctions $y_1$ et $y_2$ ainsi obtenues sur un même graphique en prenant le centimètre pour unité.

Soient respectivement $D_1$ et $D_2$ les droites représentatives des variations des deux fonctions.
\item $D_1$ et $D_2$ coupent en A et B l'axe des abscisses. $D_1$ et $D_2$ se coupent en C.

Calculer les coordonnées des points A, B et  C.
\item Déterminer l'équation de la médiatrice du segment [AC].
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\smallskip

Soient un cercle de centre O, de diamètre [AB] tel que AB $= 2R$ 
et une corde [AC] de ce cercle.

On prolonge [AB] d'une longueur BF et [AC] d'une longueur CD telles que 
\begin{center}
AB $\times$ AF = AC $\times$ AD.
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle AFD est rectangle.
\item Que peut-on dire du quadrilatère BFDC ?
\item On suppose maintenant que le le rapport $\dfrac{\text{aire ABC}}{\text{aire AFD}} = \dfrac29$ et BF $= R$.

Calculer en fonction de $R$ les longueurs AF et AD.

En déduire le cosinus de l'angle $\widehat{\text{A}}$ et la valeur de cet angle ?

Quelle est la valeur de FD ?

\item L'arc c divise le triangle AFD en deux parties.

Calculer en fonction de $R$ l'aire de la surface délimitée par les segments [BF], [FD], [DC] et l'arc $\widearc{\text{BC}}$ en supposant maintenant que BF $= R$ et que la mesure de l'arc $\widearc{\text{BC}}$ est de $60\degres$.
\end{enumerate}
\end{document}