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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1961~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center}

\smallskip

On considère les expressions 
\[\begin{array}{l c l}
A(x) &=&(x + 3)^2 - (1 - 2x)^2,\\
B(x) &=& x^2 - 8x + 16.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre $A(x)$ sous forme d'un polynôme ordonné.
\item Décomposer $A(x)$ en un produit de deux facteurs.
\item  Mettre $B(x)$ sous forme du carré d'un binôme.
\item Simplifier l'expression $\dfrac{A(x)}{B(x)}$.

Pour quelles valeurs de $x$ cette expression a-t-elle un sens ?
\item Pour quelle valeur de $x$ l'expression simplifiée obtenue à la question 4. est-elle égale à 1 ?
\item Représenter. graphiquement les variations des fonctions
\begin{center}$y_1 = 3x + 2,\qquad y_2 = 4 - x$.\end{center}

Retrouver le résultat de la question 5. à l'aide du graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Considérons un cercle de diamètre [AB], avec AB $= 10$~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur la droite (AB), à l'extérieur du cercle, trouver un point C tel que $\dfrac{\text{CB}}{\text{CA}} = \dfrac27$.
\item Une demi-droite [A$x$) coupe le cercle en D et la perpendiculaire à (AB) au point C en E.

Montrer que le quadrilatère BCED est inscriptible, que les triangle AOB et ACE sont semblables.

Montrer que
\begin{center}AD $\cdot$ AE = AB $\cdot$ AC.\end{center}
\item (DB) coupe (EC) en F.

Montrer que 
\begin{center}ED $\cdot$ EA = EC $\cdot$ EF.\end{center}
\item Dans le cas où $\widehat{\text{BAD}} =  30\degres$, calculer AD, AE, DE, EC, CF et les rapports trigonométriques de l'angle $\widehat{\text{CAF}}$.
\end{enumerate}
\end{document}