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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille\footnote{Copenhague} juin 1965~\decofourright}}}

\medskip

ENSEIGNEMENT LONG ET ENSEIGNEMENT COURT
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ALGÈBRE}

\smallskip

Soit les deux expressions
\[\begin{array}{l c l}
A(x)&=& 7x^2 - 7x- (2x - 2)(3x - 4),\\
B(x)&=& - x^2 + 64.
\end{array}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Décomposer ces deux expressions A(x) et B(x) en
produits de facteurs du premier degré.
\item Simplifier la fraction $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ et calculer la valeur de $x$ pour laquelle elle est égale à 1.
\item Soit deux axes $x'\text{O}x$ et $y'\text{O}y$ perpendiculaires ; l'unité de longueur est le centimètre ; on considère les deux droites $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ représentant respectivement les deux fonctions suivantes de $x$ :
\begin{center}$y_1 = x - 1$ \qquad et \qquad $y_2= - x + 8$.\end{center}

Donner les coordonnées de leur point d'intersection, I.

Peut-on faire une vérification de la réponse obtenue à la question 2. ?
\item La droite $\left(D_1\right)$ coupe $x'\text{O}x$ en E et $y'\text{O}y$ en F{}.

La droite $\left(D_2\right)$ coupe $x'\text{O}x$ en E$'$ et $y'\text{O}y$ en F$'$.

Démontrer que E est l'orthocentre du triangle FF$'$E$'$.

Donner les équations des droites (EF$'$) et (E$'$F).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit deux points, A et B, tels que AB $= 8$~cm, et le point C de la droite (AB), extérieur au segment [AB], tel que $\dfrac{\text{CA}}{\text{CB}} = 3$.

Calculer la longueur BC.
\item On mène par C la perpendiculaire $(D)$ à AB.

Une sécante variable issue de A coupe le cercle de diamètre [AB] en I et la droite $(D)$ en J.

O étant le milieu de [AB], la droite (OI) et la perpendiculaire en J à la droite $(D)$ se coupent en O$'$.

Démontrer que O$'$ est le centre d'un cercle $(C')$ tangent en I au cercle de diamètre [AB] et tangent en J à la droite $(D)$.
\item Démontrer que, lorsque la sécante (AI) pivote autour du point A, le produit $\overline{\text{AI}} \cdot \overline{\text{AJ}}$ garde une valeur constante, que l'on indiquera.
\item On suppose que l'angle $\widehat{\text{CAI}}$ mesure $30\degres$.

Calculer, dans ce cas, les longueurs des segments [AI], [AJ], [IJ], puis le rayon, $R'$, du cercle $(C')$.
\end{enumerate}
\end{document}