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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. E. P{}. C.}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1969}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle~\decofourright\\[7pt]
Lille juin 1969}}

\end{center}

\medskip

\begin{center}
{\Large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre sous forme d'un produit de polynômes du premier degré chacune des deux expressions algébriques
suivantes :
\[\begin{array}{l c l}
N(x)&=&-(x - 1)(3x - 3)^2- \dfrac12(x + 1)^2(x - 1) ;\\
D(x)&=&[(x - 2) + (2x - 1)]^2 - (x - 2)^2 - (2x - 1)^2.
\end{array}\]

\item On considère l'expression algébrique $E(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour quelles valeurs numériques de $x$ est-elle
définie ?
		\item Simplifier $E(x)$ si cela est possible.
		\item Calculer, si cela est possible,
\[E(0),\quad E(+ 1),\quad E(+ 2),\]
c'est-à-dire les valeurs numériques de $E(x)$ correspondant successivement à $x = 0,\:x = 1,\:x = 2$.
		\item Résoudre l'équation
\[E(x) + 2x- 3 = 0.\]
\item Représenter graphiquement les fonctions définies par
\begin{center}$y = x - 1$ et $y=- 2x + 3$.\end{center}

Peut-on retrouver sur ce graphique un résultat déjà obtenu ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
{\Large\textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

\medskip

Sur un cercle de centre O, de rayon $R$, on porte trois arcs consécutifs égaux : 

$\wideparen{\text{AB}} = \wideparen{\text{BC}} = \wideparen{\text{CD}} = 60\degres$.


\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\item La tangente en B au cercle (O) coupe (AD) en P.

Montrer que le triangle PAB est isocèle.

Calculer PO et PB en fonction de $R$.
\item On désigne par M le milieu de [OA] et par E l'intersection de (PB) et de (CD).

Calculer EM en fonction de $R$.
\item Soit H l'intersection de (EM) et de (BO).

Évaluer le rapport $\dfrac{\text{MH}}{\text{ME}}$.

Montrer que (PH) coupe (ED) en son milieu I.

Évaluer les rapports $\dfrac{\overline{\text{EC}}}{\overline{\text{ED}}}$ et $\dfrac{\overline{\text{IC}}}{\overline{\text{ID}}}$, puis les comparer.
\end{enumerate}
\end{document}