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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1970~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

Dans un triangle isocèle ABC, la base [BC] mesure $6$~cm et la hauteur [AH] mesure <$4$~cm.

Par un point I du segment AH, on trace la parallèle à (BC), qui coupe les côtés [AB] et [AC] respectivement en M et N.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer AB.

Exprimer les rapports $\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$, \:$\dfrac{\text{BM}}{\text{BA}}$ et le demi-périmètre, $p$, du trapèze BMNC en fonction de HI $= x$.

Calculer $x$ de manière que $p = 7,2$~cm.
\item Représenter graphiquement la variation de la fonction

\[ = \dfrac x2 + 6.\]

Déterminer graphiquement les valeurs de $x$ pour lesquelles $y$ prend successivement chacune des valeurs suivantes :
\begin{center}1,5\quad ; \quad 7,2\quad ;\quad  6,7 \quad et \quad 9.\end{center}

À chacune des valeurs de $x$ ainsi trouvées peut-on faire correspondre un point, I, du segment [AH] ?

Si cela est possible, quelle est la valeur du demi-périmètre du trapèze BMNC construit à partir de ce point I ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

On donne un segment de droite [AB] et, sur ce segment, un point M ; on pose MA $= a$ et

 MB $= b \:(a < b)$.

On construit, du même côté de [AB], les triangles MAC et MBD rectangles en A et B et, de plus, isocèles. Les droites (AD) et (BC) se coupent en I.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Comparer les rapports $\dfrac{\text{IC}}{\text{IB}}, \: \dfrac{\text{AC}}{\text{BD}}$\:  et $\dfrac{\text{MA}}{\text{MB}}$.

En déduire que (MI) est parallèle à (AC).
\item Établir la relation $\text{MI} \cdot \text{AB} = \text{MA} \cdot \text{MB}$.

Calculer l'aire du triangle ABI en fonction de $a$ et de $b$.
\item La droite (MI) rencontre (CD) en K.

Montrer que I est le milieu de [MK].
\item Dans le cas particulier où $b = 2a$, on appelle P le point d'intersection des droites (AB) et (CD).

Montrer que I est le centre de gravité du triangle BDP el calculer les longueurs des côtés de ce triangle en fonction de $a$.
\end{enumerate}
\end{document}