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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet des collèges}
\lfoot{\small{Lille}}
\rfoot{\small{juin 1971}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Élémentaire du Premier Cycle Lille~\decofourright\\[6pt] juin 1971}\\[6pt]
MATHÉMATIQUES TRADITIONNELLES}

\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}
\end{center} 

\medskip

Sur un axe $x'x$ d'origine O, on place les points A, B, M  d'abscisses respectives :
$- 2$ ; +4 ; $x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$,  $\overline{\text{AM}}$ et $\overline{\text{BM}}$.
\item On suppose pour toute la suite du problème que M se trouve
sur le segment [AB].

À quel intervalle appartient le nombre $x$ ?

Montrer que la longueur du segment [BM] est égale à $4 - x$. 

Calculer la longueur du segment [AM].
\item  On construit un triangle équilatéral AMC et un carré MBED.

On appelle $y_1$ le périmètre de AMC, $y_2$ celui de MBED.
	\begin{enumerate}
		\item Évaluer $y_1$ et $y_2$ en fonction de $x$.
		
Étudier les variations de ces deux fonctions lorsque M décrit le segment [AB].
		\item Les représenter graphiquement dans un même repère.
		\item Trouver graphiquement une valeur approchée à $0,1$ près de l'abscisse $x$ du point M pour lequel le carré et le triangle équilatéral ont le même périmètre.
		
Déterminer par le calcul la valeur exacte de $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{GÉOMÉTRIE}
\end{center} 

\medskip

On considère un cercle (C) de centre O, de rayon $R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'un point A extérieur à (C) on mène les tangentes (AT) et (AT$')$ à ce cercle.

Soit A$'$ le milieu du segment joignant les points de contact T et T$'$.

Démontrer que A$'$ est intérieur à (C), que O, A, A$'$ sont alignés et que $\overline{\text{OA}} \cdot \overline{\text{OA}'} = R^2$.
\item Réciproquement, on prend un point A$'$ intérieur à (C) ; comment construire le point A qui lui correspond ?
\item Dans les deux cas particuliers suivants :

$\widehat{\text{OAT}} = 45\degres$, puis $\widehat{\text{OAT}} = 60\degres$, calculer en fonction de $R$, AT, AO, AA$'$ et TT$'$.
\end{enumerate}
\end{document}