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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1972~\decofourright}}}

\medskip

\textbf{Mathématiques traditionnelles}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\bigskip

\begin{center}\textbf{ALGÈBRE}\end{center}

\smallskip

On donne les deux fonctions suivantes: 
\begin{center}$y_1 =2x + 2$ \quad et \quad$y-2 = 2x - 3$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement ces fonctions dans un même repère (on tracera les deux axes perpendiculaires et l'on prendra le centimètre comme unité sur chacun
d'eux).

Soit $\left(D_1\right)$ et $\left(D_2\right)$ les deux droites représentant respectivement $y_1$ et $y_2$.
\item $\left(D_1\right)$ coupe l'axe $x'x$, l'axe $y'y$ et $\left(D_2\right)$ respectivement en A, B et I.

$\left(D_2\right)$  coupe $x'x$ et $y'y$ respectivement en C et D.

Calculer les coordonnées de ces points, puis vérifier sur
le graphique.
\item Calculer l'ordonnée du point de $\left(D_1\right)$ d'abscisse $\dfrac76$ et
l'ordonnée du point de $\left(D_1\right)$ d'abscisse $3\sqrt 2$.

Donner la valeur approchée à $0,01$ près des résultats
précédents, puis vérifier sur le graphique.
\item Dans quel rapport le point O (origine du repère) partage-t-il le segment [AC] ?

Calculer l'abscisse du point de $x'x$ qui partage [AC] dans le rapport opposé.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}\textbf{GÉOMÉTRIE}\end{center}

\smallskip

Soit (ABC) un triangle rectangle en A dans lequel AB $= 8$ et AC $= 12$.

On appelle (O) son cercle circonscrit et M le milieu du côté [CA].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur de [BM] et la puissance du point M par rapport au cercle (O).
\item La droite (BM) recoupe (O) en P.

Calculer la longueur de [PM] [on pourra utiliser la puissance de M par
rapport à (O), ou comparer les triangles (ABM) et (PCM)].

On projette orthogonalement P sur la droite (AC) ; 
soit H le point obtenu.

Calculer la longueur des segments [MH] et [PH].
\item La bissectrice de l'angle $\widehat{\text{ABC}}$ (ou, si l'on préfère, du secteur angulaire [BA, BC]) recoupe (O) en D.

Montrer que D est le milieu du petit arc $\wideparen{\text{AC}}$ et que (MD) est la médiatrice du segment [AC].
\item On marque sur (O) le point Q tel que D soit milieu de l'arc $\wideparen{\text{PQ}}$.

Quelle est la nature du quadrilatère (ACPQ) ?

Quelle est son aire ?
\end{enumerate}
\end{document}