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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Brevet des collèges Lille juin 1974~\decofourright}}}
\end{center}
\bigskip

\textbf{ALGÈBRE}

\medskip

On appelle 

$P$ le polynôme de $\R$ vers $\R$:
\[x \longmapsto P(x)= (x- 1)^2 - 4,\]

$Q$ le polynôme de $\R$ vers $\R$:
\[x \longmapsto Q(x) = (x - 2)(x + 3) + x + 7.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Transformer $P(x)$ en un produit de deux facteurs du premier degré.
\item Développer $Q(x)$.

Mettre ensuite le résultat sous forme d'un produit de facteurs.
\item Soit maintenant $f$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$
\[x \longmapsto  f(x) =\dfrac{P(x)}{Q(x)}.\]

Donner son ensemble de définition. Simplifier l'expression de $f(x)$.
\item Calculer $f\left(\dfrac12\right)$.
\item Déterminer dans $\R$ l'ensemble des solutions de 
l'équation $f(x) = 2$.
\item Dans le plan rapporté à un repère \Oij{}
la droite $(D)$ d'équation
\[y = x - 3.\]

Placer les points A(0~;~2) et B$(- 2~;~- 2)$.

Déterminer l'équation de la droite $(\Delta)$ qui les points A et B.

Comment peut-on interpréter graphiquement le résultat de la question 5. ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{GÉOMÉTRIE}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé on considère les points
\begin{center}A(0~;~5),\quad  B$(-3~;~4)$, \quad C$(3~;~-4)$ \quad et \quad D$(6~;~-3)$\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{BC}}$ et que O est le milieu  du segment [BC].
\item Le point N étant le milieu du segment [AD], démontrer que le quadruplet (O, A, N, C) est un parallélogramme.

Calculer les distances $d$(O, A) et $d$(O, C).

En déduire la nature précise du quadruplet (O, A, N, C).

Reconnaître (en justifiant la réponse) la droite médiatrice de [AC].
\item Démontrer que le triangle (A, B, C) est rectangle en A.

Calculer le sinus de l'écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

(On prendra 3,16 pour valeur approchée de $\sqrt{10}$.)

Soit G le point tel que $\vect{\text{OG}} = \dfrac13\vect{\text{OA}}$.

Donner les coordonnées de G dans le repère \Oij.

Démontrer que les points B, G et D sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}