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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 1976}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1976}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1976 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ l'application de $\R$ dans $\R$ définie par 
\[f(x) = (3x - 5)^2 - (x + 2)^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Développer, réduire et ordonner $f(x)$ suivant le puissances décroissantes de $x$.
		\item Calculer successivement $f(0),\quad f\left(- \dfrac12\right)$ et $f\left(2 \sqrt 3\right)$.
		\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3 < 1,733$, montrer que 
		\[- 1 < f\left(2\sqrt 3\right) < 0.\]
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction rationnelle de $\R$ vers $\R$ définie par
\[h(x) = \dfrac{f(x)}{2x - 7}.\]

Déterminer l'ensemble de définition de $h$, puis simplifier $h(x)$.
\item Soit la fonction affine $g : x \longmapsto ax + b$, où $a$ et $b$ sont des réels.

Déterminer $a$ et $b$ sachant que $g(1) = 1$ et $g(2) = 5$.

Écrire alors $g(x)$.
\item $g$ et $h$ sont-elles égales ?

Construire leurs représentations graphiques dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

Dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij{}
on donne les points 
\begin{center}A$\left(0~;~\dfrac52\right)$,\qquad 
B(-2~;~1) \quad et \quad C$\left(3~;~\dfrac{-3}{2}\right)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points B, O et C sont alignés.
\item Déterminer les coordonnées (ou composantes) des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$.

En déduire que les droites (AB) et (AC) sont orthogonales.
\item Soit $\left(\mathcal{C}_1\right)$ le cercle dont le centre est B et qui passe par A, soit $\left(\mathcal{C}_2\right)$ le cercle dont le centre est C et qui passe par A.

Ces deux cercles se coupent en A et E.

On désigne par H l'intersection des droites (BC) et (AE).

Montrer que H est le milieu de [AE].
\item Calculer d(A, B) et d(A, O). 

En déduire que H est le milieu de [OB].

Préciser alors la nature du quadruplet (A, O, E, B).
\item Expliquer pourquoi les triangles (B, A, C) et (B, E, C) sont isométriques, puis indiquer quelle est l'isométrie qui transforme le triangle (B, A, C) en le triangle (B, E, C).
\item Soit $\alpha$ l'écart angulaire en degrés de l'angle géométrique $\widehat{\text{ACB}}$.

Déterminer $\tan \widehat{\text{ACB}}$. 

En déduire la valeur approchée par défaut à un degré près de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{document}