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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1977}
\rfoot{\small Lille}
\lfoot{\small juin 1977}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet Lille juin 1977 \decofourright}}
\end{center}

\textbf{\large Algèbre}

\medskip

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies par
\[\begin{array}{l l c l}
f:	&\R	&\to		&\R\\
	&x	&\longmapsto&f(x) = 4x^2 + 12x + 9 - (2x + 3)(x - 1) + 2x^2 + 3x\\
g :	&\R	&\to		&\R\\
	&x	&\longmapsto&g(x) =(x + 2)(11 - x)
\end{array}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f$ et $g$ sont des fonctions polynômes de degré 2.
		\item Factoriser $f(x)$.
		\item Résoudre dans $\R$ les équations $f(x) = 0$ et $g(x) =0$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $f(0) ;\: f\left(- \dfrac32\right) ;\: f\left(\sqrt 3\right) ;\: g(0) ; g(11) ;\: g\left(- \sqrt 3\right)$.
\item Sachant que $1,732 < \sqrt 3< 1,733$, donner un encadrement de $g\left(- \sqrt 3\right)$.
à 0,1 près.
\item On pose $q(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $q$ ? Donner une forme simplifiée de $q(x)$ pour tout $x$ appartenant à $\mathcal{D}$.
\item Soit $q'(x) = \dfrac{4x + 6}{11 - x}$.

Sur quel sous-ensemble de $\R$ a-t-on $q(x) = q'(x)$ ?

Résoudre les équations $q'(x) = 0$ et $q'(x) = 1$.
\item Tracer dans un plan rapporté à un repère orthonormé \Oij{} les droites
$(D)$ et $(D')$ d'équations respectives $y = 4x + 6$ et $y = 11- x$.

Déterminer les coordonnées du point I d'intersection de $(D)$ et $(D')$.

Pouvait-on, à l'aide de ce qui précède, prévoir ce résultat ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Géométrie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un segment [A, B] d'un plan euclidien mesure $3$~cm.

On appelle D la perpendiculaire en A à la droite (AB).

Montrer que le cercle C de centre B et de rayon $6$~cm coupe D en deux points.

Soit C l'un de ces deux points.

Trouver la mesure en centimètres du segment [A, C].

On désigne par M le milieu du segment [B, C].

Montrer que le triangle (A, B, M) est équilatéral.
\item Soit I le point symétrique de A par rapport à M.

Donner la nature du quadruplet (A, B, I, C) et celle du triangle (M, C, I).
\item On appelle $\Delta$ la médiatrice du segment [BC],  et I$'$ l'image du point I dans la symétrie orthogonale d'axe $\Delta$. 

Nommer les points de la figure par lesquels passe le cercle $\mathcal{C}'$ de centre M et de rayon $3$~cm. Justifier votre réponse.
\item Montrer que les segments [A, C], [B, I] et [C, I$'$] sont isométriques.

Montrer que les droites (BI) et (CI$'$) se coupent en un point de $\Delta$.

Calculer l'écart angulaire, en degré, de l'angle géométrique $\widehat{\text{CBI}'}$.
\item Donner les coordonnées des points B, C, I et M dans le repère $\left(\text{A},~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}